从矩阵看电路的耦合

RLC侠收录于元器件建模

2026-07-15 2026-07-28 约 5400 字预计阅读 11 分钟 - 次阅读

在电路理论里，我们经常会遇到一些听起来很抽象的词：自耦、互耦、自感、互感。初学时很容易把它们理解成一种“物理上靠得很近”的关系：两个线圈绕在同一个铁芯上，所以有耦合；两条支路没有导线相连，所以没有耦合。

这个说法有直觉，但还不够适合数值仿真。

在 EMT 程序里，元件最后都要进入矩阵方程。于是“有没有耦合”就可以换成一个更直接的问题：一个端口的电压或电流，是否会进入另一个端口的方程？ 如果会，矩阵里就会出现跨端口的非零项；如果不会，矩阵就可以分成互不影响的块。

所以，今天我们不先从磁场形状、铁芯结构或空间距离去理解耦合，而是从矩阵的角度去看电路里的“耦合”到底长什么样。

两个孤立电阻：没有耦合

先看最简单的情况：两个电阻完全没有连接。 $R_1$ 接在节点 $N_1,N_2$ 之间， $R_2$ 接在节点 $N_3,N_4$ 之间，中间没有任何共享节点，也没有受控关系、互感关系或变压器关系。

令：

G_1=\frac{1}{R_1},\qquad G_2=\frac{1}{R_2}

对 $R_1$ 来说，支路电流只由它两端电压决定：

i_1=G_1(u_{N_1}-u_{N_2})

因此它只会把下面这个局部矩阵加到 $N_1,N_2$ 对应的行列里。英文资料里常把这个动作叫做 stamp，意思不是抽象地“盖个章”，而是“把某个元件对矩阵的贡献填入全局矩阵的指定位置”：

\begin{bmatrix}G_1&-G_1\\-G_1&G_1\end{bmatrix}

同理， $R_2$ 的局部矩阵只会加到 $N_3,N_4$ 对应的行列里：

\begin{bmatrix}G_2&-G_2\\-G_2&G_2\end{bmatrix}

如果节点顺序取为：

N_1,\ N_2,\ N_3,\ N_4

全局节点方程就是：

\begin{bmatrix}I_{N_1}\\I_{N_2}\\I_{N_3}\\I_{N_4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_1&-G_1&0&0\\-G_1&G_1&0&0\\0&0&G_2&-G_2\\0&0&-G_2&G_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{N_1}\\u_{N_2}\\u_{N_3}\\u_{N_4}\end{bmatrix}

这个矩阵最重要的特征是右上角和左下角都是零块：

\begin{bmatrix}\boxed{G_{(N_1,N_2)}}&0\\0&\boxed{G_{(N_3,N_4)}}\end{bmatrix}

这说明 $N_1,N_2$ 子电路的电压不会直接进入 $N_3,N_4$ 子电路的电流方程，反过来也一样。两个电阻虽然同时出现在一个全局矩阵里，但它们在数学上是两个互不影响的分块。

这就是**“没有耦合”**的矩阵形式。

两绕组变压器：有耦合

现在换成一个两绕组变压器或两端口耦合支路。左侧绕组接在 $N_1,N_2$ 之间，右侧绕组接在 $N_3,N_4$ 之间。即使这两个绕组在电气上没有直接导线相连，它们仍然会通过磁场耦合。

两绕组变压器耦合示意 — 两绕组变压器：绕组之间没有直接导线相连，但通过磁场耦合。

为了先抓住矩阵结构，可以把两绕组看成一个线性二端口。定义两个端口电压：

u_p=u_{N_1}-u_{N_2}

u_s=u_{N_3}-u_{N_4}

端口电流写成：

\begin{bmatrix}i_p\\i_s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_{11}&G_{12}\\G_{12}&G_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_p\\u_s\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}I_{\mathrm{his},p}\\I_{\mathrm{his},s}\end{bmatrix}

其中 $G_{11}$ 描述一次侧自身电压对一次侧电流的影响， $G_{22}$ 描述二次侧自身电压对二次侧电流的影响。真正代表耦合的是 $G_{12}$ ：

i_p=G_{11}u_p+G_{12}u_s+I_{\mathrm{his},p}

i_s=G_{12}u_p+G_{22}u_s+I_{\mathrm{his},s}

只要 $G_{12}\neq 0$ ，一次侧电流方程里就含有二次侧电压，二次侧电流方程里也含有一次侧电压。这就是耦合。

把这个端口方程加到节点 $N_1,N_2,N_3,N_4$ 对应的全局矩阵位置上，会得到类似下面的结构：

\begin{bmatrix}I_{N_1}\\I_{N_2}\\I_{N_3}\\I_{N_4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_{11}&-G_{11}&G_{12}&-G_{12}\\-G_{11}&G_{11}&-G_{12}&G_{12}\\G_{12}&-G_{12}&G_{22}&-G_{22}\\-G_{12}&G_{12}&-G_{22}&G_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{N_1}\\u_{N_2}\\u_{N_3}\\u_{N_4}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}I_{\mathrm{his},p}\\-I_{\mathrm{his},p}\\I_{\mathrm{his},s}\\-I_{\mathrm{his},s}\end{bmatrix}

和前面的两个孤立电阻相比，区别非常明显：矩阵的右上角和左下角不再是零块，而是出现了 $G_{12}$ 相关项。

从这个角度看，耦合不是“图上画得近”或者“看起来像一个元件”，而是矩阵结构发生了变化：

\begin{bmatrix}\boxed{G_{11}}&\boxed{G_{12}}\\\boxed{G_{12}}&\boxed{G_{22}}\end{bmatrix}

非对角块 $G_{12}$ 把两个端口连接成了一个整体。求解器不能把它们拆成两个互不影响的支路来处理。

更复杂的例子：三支路互阻互感

再看一个更复杂但很常见的结构：三条支路并排，从 $k_1,k_2,k_3$ 指向 $m_1,m_2,m_3$ 。每条支路有自己的电阻和电感，同时支路之间存在互阻和互感。

三支路互阻互感耦合示意 — 三支路互阻互感：每一条支路的电流变化都可能影响其他支路的电压。

令支路电压、电流为：

\mathbf u=\begin{bmatrix}u_{k_1m_1}\\u_{k_2m_2}\\u_{k_3m_3}\end{bmatrix},\qquad \mathbf i=\begin{bmatrix}i_{k_1m_1}\\i_{k_2m_2}\\i_{k_3m_3}\end{bmatrix}

如果三条支路完全独立，那么可以写成：

\mathbf u=\begin{bmatrix}R_{11}&0&0\\0&R_{22}&0\\0&0&R_{33}\end{bmatrix}\mathbf i+\begin{bmatrix}L_{11}&0&0\\0&L_{22}&0\\0&0&L_{33}\end{bmatrix}\frac{d\mathbf i}{dt}

但如果存在互阻、互感，就会变成：

\mathbf u=\mathbf R\mathbf i+\mathbf L\frac{d\mathbf i}{dt}

其中：

\mathbf R=\begin{bmatrix}R_{11}&R_{12}&R_{13}\\R_{12}&R_{22}&R_{23}\\R_{13}&R_{23}&R_{33}\end{bmatrix}

\mathbf L=\begin{bmatrix}L_{11}&L_{12}&L_{13}\\L_{12}&L_{22}&L_{23}\\L_{13}&L_{23}&L_{33}\end{bmatrix}

这里的下角标 $11,22,33$ 表示自身项， $12,13,23$ 表示支路之间的互相影响。例如 $L_{11}$ 是第一条支路自己的电感， $L_{12}$ 是第一条支路和第二条支路之间的互感。

有些资料也会用 $s$ 和 $m$ 来强调这两类项： $s$ 来自英文 self，表示“自身”； $m$ 来自英文 mutual，表示“相互”。如果三条支路的自身参数相同、互耦参数也相同，上面的矩阵可以简写成：

\mathbf R=\begin{bmatrix}R_s&R_m&R_m\\R_m&R_s&R_m\\R_m&R_m&R_s\end{bmatrix},\qquad \mathbf L=\begin{bmatrix}L_s&L_m&L_m\\L_m&L_s&L_m\\L_m&L_m&L_s\end{bmatrix}

所以可以这样记：对角线上的项是 self，也就是自阻、自感；非对角线上的项是 mutual，也就是互阻、互感。

比如第一条支路的电压方程为：

u_{k_1m_1} =R_{11}i_{k_1m_1} +R_{12}i_{k_2m_2} +R_{13}i_{k_3m_3} +L_{11}\frac{di_{k_1m_1}}{dt} +L_{12}\frac{di_{k_2m_2}}{dt} +L_{13}\frac{di_{k_3m_3}}{dt}

这句话的物理意思是：第一条支路的电压不仅由第一条支路自己的电流决定，也会受到第二、第三条支路电流及其变化率的影响。

解耦的意义

理解了“耦合在矩阵里表现为非对角项”，就很容易理解“解耦”为什么重要。

从矩阵角度看，如果一个全局矩阵可以写成分块对角形式：

\begin{bmatrix}\mathbf A&0\\0&\mathbf B\end{bmatrix}

那么 $\mathbf A$ 对应的子网络和 $\mathbf B$ 对应的子网络，在当前这个代数方程里就是相互独立的。求 $\mathbf A$ 这部分未知量时，不需要同时知道 $\mathbf B$ 那部分未知量；反过来也一样。

从数学求解角度看，这意味着一个大问题可以拆成两个小问题：

\mathbf A\mathbf x_1=\mathbf b_1,\qquad \mathbf B\mathbf x_2=\mathbf b_2

这件事很有工程价值。第一，小矩阵通常比大矩阵更容易求解；第二，不同子网络可以并行计算；第三，在实时仿真里，不同 CPU 线程、不同计算核，甚至不同仿真节点可以分别处理不同的网络分区。

所以，解耦的意义不是说物理系统真的完全没有联系，而是说在某种建模或求解安排下，原来必须放在同一个矩阵里同时求的变量，被拆成了可以分别求解的子问题。

工程上确实有一些办法会利用这种思想，把原本强耦合的电路网络拆开处理。例如传输线方法会利用传播延时，把线路两端在同一个时间步内的直接代数耦合隔开；也有一些分区求解、接口等效、延时接口或迭代接口方法，用边界量交换来连接两个子网络。

这些方法的细节本文先不展开。这里先抓住一个朴素判断：如果矩阵里的跨分区非对角块被消掉、延后处理，或者变成边界接口量，那么两个网络就更容易被分开计算。

从矩阵看电路的耦合

两个孤立电阻：没有耦合

两绕组变压器：有耦合

更复杂的例子：三支路互阻互感

解耦的意义

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