三相 PI 电路数学模型

考虑正负零序的、对称情况的三相pi电路的电磁暂态模型

下图是一个典型的三相PI电路，两端节点分别用K，M表示，接地点G，RLC分别有自感、互感。

在工程线路里，一般测量正序、零序是电力系统标准（IEEE、IEC）的方式。所以需要构造基于正序、零序的模型架构。（仅从仿真/数值计算角度，构造abc矩阵是比较直观的，但是工程上很多参数其实不能直接显式获得，所以建模的时候也需要考虑实际工程情况。）

正负零序到abc的转换

先不考虑C支路，对于三相对称RL支路，有：

取s /m = self / mutual（自感，互感），则对称线路意味着：

接下来构造正负序变换：

• 正序（1）：A相领先B相120度，B相领先C相120度，C相领先A相120度。
• 负序（2）：A相落后B相120度，B相落后C相120度，C相落后A相120度。
• 零序（0）：A、B、C三相相位相同，哪一相也不领先，也不落后。

对正负零序不熟悉的可以参考 正序、负序、零序详解

那么从数学角度，我们需要构造一组基底向量(类似park/clark变换)，三序正交，相互独立，投影为0，假设旋转因子$a$:

与$a$相乘即在极坐标下逆时针旋转120°。那么，根据正负零序的定义，我们可以构造转换矩阵：

这里注意，$\mathbf{x}$代表向量，因此必须是$V$, $I$，不要误解为$RLGC$。 注意这里$a$天然满足$\begin{aligned}&a^3=1\\&1+a+a^2=0\end{aligned}$, 这个在后边展开$\mathbf{S}$和$\mathbf{S^{-1}}$很有用，而不需要代入三角函数展开计算。

接下来对$(1)$进行变换：

于是可以得到标量$RLGC$的正负零序形式（和向量$\mathbf{x}$的形式已经有点不一样了）：

到这里理论上已经结束了，但是从数值计算角度，我们需要知道s/m和零负正序的关系，需要进一步化简，这里以$\mathbf{G}$为例，先算$\mathbf{S}*\mathbf{G}$：

这里因为是对称的，所以负序就是正序，$G_1=G_2$。 再算$\mathbf{S}*\mathbf{G}*\mathbf{S}^{-1}$，$\mathbf{S}$第一列$\frac{1}{3}[1,1,1]^{T}$:

这里终于得到了自导纳和正负零序的关系，可以看到是非常简洁的，接下来是互导纳, 取$\mathbf{S}$第二列$\frac{1}{3}[1,a,a^2]^T$：

显然$a+a^2=-1$，所以得到互导纳的形式：

$RLGC$都是满足上述形式，因此在工程上测量得到的正负零序阻抗，可以转换成我们需要的$RLGC_{012}$，再通过上述推导得到abc三相的导纳矩阵，即可通过节点电压求解。

数学模型推导

单看一端，这里有两个支路，一个是$RL$支路，一个是$C$ shunt支路，接下来先开始对$RL$支路列举节点电压方程：

展开成abc标量形式：

再利用Dommel算法求解即可，其实就是RL支路，没有特殊的地方，多了一步零负序转换和自导纳、互导纳而已。 对于$C$ shunt支路，也很容易得到：

注意这里的$C$，一般的$\pi$电路两端各取一半，所以计算的时候使用$\frac{C}{2}$。计算完毕后，最后汇总两个支路的注入历史电流即可：

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