电磁暂态仿真算法实战

数值仿真入门

Sat, 30 May 2026 00:00:00 +0800

Dommel EMTP 算法是求解电磁暂态问题最被广泛采用的办法，但是讲解 Dommel 算法之前，其实需要对微分方程的数值解法有一定的基础。不然上来就学习 RLC 的离散化，可能对初学者有点劝退，难以理解。而且电网也不只有 RLC 元件，还有非线性元件、需要用状态空间描述的外部控制环路等等。所以，虽然是做电气领域的仿真算法，但是万变不离其宗，本质上还是数学问题。

但是微分方程的数值解法，又是一门深奥的学科，笔者在入门的时候也走过不少弯路，因此萌生了写这篇文章的想法。我们最终的目的是深刻理解并灵活应用 Dommel 算法去求解电磁暂态问题，所以本文不会深入“常微分方程的数值解”这片深海，只是从电气工程师，仿真工程师角度，带大家入门，希望能帮助初学者脱离苦海。

这里推荐两边书作为本文的延伸阅读，首先是华冬英，李祥贵的《微分方程的数值解法》，初学者建议读第一、二章即可，浅尝辄止。然后去读 Neville Watson and Jos Arrillagaz 著，陈贺、白宏、项祖涛译的《电力系统电磁暂态仿真 Power Systems Electromagnetic Transients Simulation》。这样会对 Dommel 算法有一个比较深刻的理解。

本文不会深入 RLC 电路基于 Dommel 算法的等效电路的说明，仅讨论一般常微分方程 (ODE) 的数值解的问题。

数学上的 ODE 数值解法

其实理想情况下的完美解是通过初等方法求出的解析解，比如 $y^{\prime}=\sin(x)$ , 我们很容易可以得到它的解析解就是 $y=-\cos{(x)}+C,C\in\mathbb{R}$ . 但是，如果是 $y^{\prime}=\sin(y^2)$ 或者 $y^{\prime}=\sin(xy)$ 就完全没有办法，或者很困难求得解析解。

而经常做仿真的读者也知道，一个完整的物理系统往往是很复杂的，不用说推导解析解，就是写出状态空间形式都很麻烦。而且在有控制反馈的闭环系统中，随手添加一个单位延时、引入滤波、超前、滞后环节都是都很正常的，这都会增加微分变量进而增加系统的复杂程度。所以，严格推导解析解是很困难的，由此也衍生出模型的扫频近似（比如基于 Vector Fitting、零极点匹配的电路有理近似）、特定物理问题的解析解等等方向。

那么在工程上，我们可以通过一些近似方法解出特定条件下的近似值，假设 $x$ 是时间，假设第 0 秒是起始点（工程上时间是负的没有意义），我们人为设定 $y$ 的初始值是 $\alpha$ ，有没有办法可以解出第 $n$ 秒时 y 的近似值呢？这个其实就是常微分方程的初值问题，归纳总结为如下形式：

\begin{cases} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y),\quad 0<x\leqslant n, \\ y(a)=\alpha & \end{cases}\tag{1}

当 $x$ 不是时间，也就是说不是时域的时候， $x$ 的范围可以引申为 $\quad a<x\leqslant b$ , 这个在数学上其实是没有区别的，只不过电气工程上更关心时域问题。 $y$ 的初值可能是电感的电流，或者电容的电压，不过不正确的初值可能会引发其他的问题，这里先不讨论。

好，那么我们下一步怎么处理 (1) 呢？这里介绍容易让读者理解的两个路线，一个是针对 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，从差商近似的角度；另一个就是，对等式两端进行积分，针对 $y(x_{i+1})-y(x_i)=\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x,y(x))\mathrm{d}x$ 角度入手。

有经验的读者其实可能已经知道欧拉、梯形法则，了解下一步离散化的方法了。但是笔者这里建议先忘记欧拉、梯形法则，我们从源头看看 (1) 到底是怎么解的。

差商近似 —— 由求导的思想引出欧拉方法

要求解 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，或者 $y'$ ，很容易联想到 $y^{\prime}(x_i)\approx\frac{y(x_{i+1})-y(x_i)}{h}$ ，这个基于图解法很好理解。抛开图解法，它的来源其实是泰勒公式：

y(x_0+h)=y(x_0)+y^{\prime}(x_0)h+\frac{y^{\prime\prime}(x_0)}{2!}h^2+\cdots+\frac{y^{(n)}(x_0)}{n!}h^n+O(h^{n+1})

从计算机数值求解的角度，我们观察一下泰勒公式，下一个步长的值， $y(x_0+h)$ 是我们要求解的， $y(x_0)$ 和 $x_0$ 的初值是人为设定的，步长 $h$ 也是可以设定的，而根据公式 (1)， $y^{\prime}(x_0)$ 又是可以直接求解的，我们不知道的是高阶导形式 $y^{(n)}(x_0)$ 。

理论上来说，只要有任意 $y^{(n)}(x_0)$ ，我们的泰勒近似就可以达到任意精度。但是实际操作中，高阶导的求解往往非常困难复杂，所以我们牺牲一些精度，在本例中， $y^{\prime\prime}(x_0)$ 往后我们全都放弃，重新整理泰勒公式可得：

y(x_0+h)=y(x_0)+y^{\prime}(x_0)h+O(h^{2})

很容易通过上述公式求解出我们要的 $y(x_0+h)$ 。它的一般形式就是：

{y(x_{n+1})=y(x_n)+hf(x_n,y(x_n))}+O(h^{2})

如果一个数值方法的局部截断误差 (LTE)= $O(h^{p+1})$ ，则称该数值方法是 $p$ 阶的。所以，这个方法的精度就是一阶的。至此，我们通过差商近似的方法，推导出了 $f(x,y)$ 的数值解，这个方法就是鼎鼎大名的显示欧拉方法，也可以叫做一阶向前差商近似。

我们来做一个小练习，方程出处为《微分方程的数值解法》例 2.1.1，方程的精确解是 $y=\sqrt{1+2x}$

\begin{cases}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y-\frac{2x}{y},&\quad0<x\leqslant1\\y(0)=1&\end{cases}

这里给出由 AI 产生的 matlab 代码

clc; clear; close all;

% 参数设置
h = 0.1;
x = 0:h:1;
N = length(x);

% 初始化
y_euler = zeros(1, N);
y_euler(1) = 1; % 初值 y(0)=1

% 显式欧拉法
for n = 1:N-1
 y_euler(n+1) = y_euler(n) + h * ( ...
 y_euler(n) - 2*x(n)/y_euler(n) );
end

% 解析解
y_exact = sqrt(1 + 2*x);

% 误差
error = y_euler - y_exact;

% ===== 作图 =====
figure;

subplot(2,1,1)
plot(x, y_exact, 'k-', 'LineWidth', 2); hold on;
plot(x, y_euler, 'ro--', 'LineWidth', 1.5);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Exact solution', 'Explicit Euler');
title('Explicit Euler vs Exact Solution');

subplot(2,1,2)
plot(x, error, 'b*-', 'LineWidth', 1.5);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('Error');
title('Numerical Error (Euler - Exact)');

显示欧拉结果及精确解对比

可以观察到，显示欧拉求解的效果并不好，而且误差明显随着步长的前进在逐步增加，读者可以试试，最后结果会发散，这明显是不能接受的。另外还有一个问题，初值不知道怎么办？显然，如果初值给错了，在发散的数值解法下，所有解都没有意义。我们需要对算法进行改进。

复盘一下，我们推导的源头相当于从 $y^{\prime}(x_i)$ 入手，自然而然的联想到 $y^{\prime}(x_i)\approx\frac{y(x_{i+1})-y(x_i)}{h}$ ，但是实际上，基于泰勒公式， $y^{\prime}(x_i)$ 还可以有其他的形式，比如：

\text{一阶向后差商：}y^{\prime}(x_i)\approx\frac{y(x_i)-y(x_{i-1})}{h}\text{, 误差为}O(h)\\ \text{二阶中心差商：}y^{\prime}(x_i)\approx\frac{y(x_{i+1})-y(x_{i-1})}{2h}\text{, 误差为}O(h^2)

我们把一阶向后差商改写一下，变成 $y^{\prime}(x_{i+1})\approx\frac{y(x_{i+1})-y(x_{i})}{h}$ ，整理一下就是所谓的隐式欧拉公式：

{y(x_{n+1})=y(x_n)+hf(x_{n+1},y(x_{n+1}))}

称它为隐式，是因为 $y(x_{n+1})$ 在等式右边，需要迭代求解。初学者学到这里可能就很困惑，我们先不用管迭代求解是什么，总之先记住，解包含 $y(x_{n+1})$ 的方法统称为隐式方法即可。

而二阶中心差商，出现了 $y(x_{i-1})$ ，通俗的理解就是，这个方法不仅需要我们提供初值，还需要提供一个历史项，这里不深入讨论，这类方法一般叫做多步法。

目前为止，还没有出现大家耳熟能详的“梯形法则”，那么我们接下来讨论从积分角度对 (1) 求解。

积分近似 —— 由求积分的思想引出梯形法则

梯形积分法则很容易理解，这里借用百度百科的图示，一目了然，使用梯形面积去近似积分：

梯形积分法图示

但是梯形积分法其实远远没有你想的那么简单，在非线性 ODE 解法中，完整形态的梯形法则其实是一种隐式的需要迭代的算法。而在数字软件仿真环境下，往往不会使用隐式迭代的算法，而是采用双线性变换去离散近似积分。这里读者有一个印象就好，暂时不需要深入理解，我们后边会给出具体例子。

既然是积分近似，我们就要消除求导项，所以对 (1) 两端进行积分：

y(x_{i+1})-y(x_i)=\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x,y(x))\mathrm{d}x

显然，使用梯形法则，可以将右侧积分项近似为：

\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x,y(x))\mathrm{d}x\approx\frac{1}{2}[f(x_i,y(x_i))+f(x_{i+1},y(x_{i+1}))]h

终于，可以得到新的表达式：

y_{i+1}=y_i+\frac{1}{2}h\left[f(x_i,y_i)+f(x_{i+1},y_{i+1})\right]\tag{2}

但是很明显，等式右侧有 $y_{i+1}$ ，这个是我们要求的，而我们的解，却又包含了我们本身要求的未知数，这似乎不合理？数学上定义这种情况，或者说这种方法，为隐式方法，通常需要迭代求解，我们来解释一下什么意思。

熟悉 Dommel 算法的读者，可能就会产生疑问，似乎套用梯形法则的时候，从来不存在迭代，隐式的情况（这个其实是笔者初学的问题）？笔者私以为 Dommel 算法其实是基于双线性变换，它虽然也是基于梯形法则，但是是线性 ODE 的特例，所以不存在“隐式”，“迭代”的情况（这个后边给例子）。因此简单的把它归类为“梯形法则”其实是不严谨的，因为梯形法则其实是需要基于迭代的隐式算法，理论上它可以求解任何非线性 ODE，只是 RLGC 组成的电路应用了它而已。

我们观察一下这张图，可以发现 $f(b)$ ，或者 $f(x_{i+1},y_{i+1})$ ，是我们未知的，但是 $f(a)$ ，或者 $f(x_{i},y_{i})$ ，是我们已知的。我们虽然不能求解出精确的 $y_{i+1}$ ，但是不是还有欧拉法么，我们可以求解出一个不是那么精确的“ $y_{i+1}$ ”，记为 $y^{(0)}_{i+1}$ ，这样一来，套用梯形法则的条件就完备了！套用一次梯形法则，我们可以得到精确了一点的 $y^{(1)}_{i+1}$ ，再以此类推，得到 $y^{(2)}_{i+1}$ 、 $y^{(3)}_{i+1}$ 。。。，一直到我们满意为止。整个过程如上图所示，这个就是所谓的迭代。我们直接上 matlab 代码来描述这个过程：

clc; clear; close all;

% ============================
% 参数设置
% ============================
a = 0; b = 1; % 求解区间
N = 10; % 步数，保证稳定
h = (b-a)/N;

x = zeros(1, N+1);
y = zeros(1, N+1);

for i = 1:N+1
 x(i) = a + (i-1)*h;
end

y(1) = 1.0; % 初值
maxerr = 0.0;
epsilon = 1e-4; % Picard 收敛精度

% ============================
% 主循环：梯形法 + 迭代
% ============================
for i = 1:N

 % ---- 欧拉预测 ----
 ytemp1 = y(i) + h * f(x(i), y(i));

 k = 0;
 % ---- 迭代 ----
 while true
 k = k + 1;
 if k ~= 1
 ytemp1 = ytemp2;
 end
 ytemp2 = y(i) + h/2 * ( f(x(i), y(i)) + f(x(i+1), ytemp1) );
 fprintf('i=%d, k=%d, |ytemp1 - ytemp2| = %.6e\n', i, k, abs(ytemp1 - ytemp2));
 if abs(ytemp1 - ytemp2) < epsilon
 break;
 end
 end

 y(i+1) = ytemp2;

 % ---- 误差 ----
 err = abs(y(i+1) - yexact(x(i+1)));

 if err > maxerr
 maxerr = err;
 end
end

fprintf('The max error is %.6e\n', maxerr);

% ============================
% 解析解 & 误差
% ============================
y_exact = yexact(x);
error = y - y_exact;

% ============================
% 作图（上下两幅）
% ============================
figure;

subplot(2,1,1)
plot(x, y_exact, 'k-', 'LineWidth', 2); hold on;
plot(x, y, 'bo--', 'LineWidth', 1.5);
grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
legend('Exact solution', 'Implicit Trapezoidal (Picard)');
title('Implicit Trapezoidal Method vs Exact Solution');

subplot(2,1,2)
plot(x, error, 'r*-', 'LineWidth', 1.5);
grid on;
xlabel('x'); ylabel('Error');
title('Numerical Error (Trapezoidal - Exact)');

% ============================
% 函数定义
% ============================
function val = f(x, y)
 val = y - 2*x/y;
end

function val = yexact(x)
 val = sqrt(1 + 2*x);
end

可以观察到，精度已经大大提升了，为了节约计算资源，迭代跳出循环的条件可以改为一定次数（比如 50 次）或者更改最大误差容忍度。工程上往往只迭代一步，即用欧拉估算一步以后，在梯形法则一步，称为“改进的欧拉算法”。

到目前为止，我们已经对微分方程的数值算法有了一个初步的认识。深入了解的话，基于泰勒公式的高阶展开，会演变出各种高阶的算法，比如大名鼎鼎的 Runge-Kutta 算法，用高 - 低阶精度算法混合的变步长算法等等，感兴趣的读者可以延申阅读《微分方程的数值解法》。

但是作为电磁暂态仿真、电气仿真工程师的我们，目前入门的知识已经暂时够用了，数学的难题有数学专家去解决，我们接下来要讲解如何工程化，下一篇文章将讲解数字仿真环境下的离散算法，进而引出大名鼎鼎的 Dommel 算法。

想说的话

读完本文，你可能对具体实操求解微分方程还是懵懵懂懂，这个没关系，最重要的是理解可以从“差商”和“积分”两种近似角度，去求解带 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的方程。而目前大部分的数值解法的思想源头都是泰勒展开，目前只要了解了这个，就足够了。
笔者认为理解最原始 ODE 求解方法是很重要的，因为电磁暂态仿真本质上是对电感 L，电容 C引入的微分方程的求解。同时也要了解“梯形法则”最原始的形态是什么样的，它是可以求解非线性ODE 的隐式算法，而 Dommel 算法其实是线性的特例。
感兴趣的读者，可以试试用差商近似的方法，看看能不能推导出基于积分思想得到的梯形法则算法，即公式 (2)。这个非常有用，它涉及到后边会提到的一个很“神奇”的积分方法的推导思想，数学界称为 $\theta$ -method，《电磁暂态仿真》称为“可调积分”，业界也有人称为 $\alpha$ 积分方法，它可以解决 Dommel 引入的数值震荡问题，这个将来会单开一篇讲。
《微分方程的数值解法》例 2.1.1，也就是本文用的例子，笔者认为不是特别好，因为这个方程是一个不稳定方程，它并不适合初学者，任何复现原著代码的人都会发现问题，感兴趣的读者可以试试，增加仿真时间，你会发现连 ode45 都解不了，这个方程的数值误差是累积的，最后都会发散。如果换用隐式欧拉，甚至还会出现步长越小，越“发散”的现象，这个困惑了笔者很久。但是笔者最终选用了这个例子（一方面是因为当初自学的时候，搜遍全网，有人和我有一样的困惑，但是没有好的解答），是因为这个例子能很好的理解“收敛性”和“稳定性”，并且可以打破我们常规认识：“步长越小越好”，进而引出绝对稳定域的概念，在特殊情况下，如果稳定域是一个空心圆，步长小反而会发散。这里读者可以先不用管，有个印象就好，以后单开一篇讲。

从工程仿真资源利用率的角度看，选用合适的算法，合适的步长，才能达到“精度”和“速度”的最佳平衡点，而这都需要坚实的数学理论做基础。

从 Simulink 积分算子看 s 到 z 离散化

Wed, 17 Jun 2026 00:00:00 +0800

上一篇文章我们从常微分方程的角度，粗略讲了显式欧拉、隐式欧拉和梯形积分法。那一篇更多是在数学意义上回答一个问题：连续时间里的微分方程，为什么可以被一步一步算出来？

但是真正进入仿真软件以后，读者看到的通常不是一行微分方程，而是一个个模块。比如在 Simulink 里，最常见、也最容易被忽略的模块，就是积分算子。

Simulink 积分算子示意

如果输入是 $x(t)$ ，输出是 $y(t)$ ，那么这个模块表达的连续时间关系就是：

y(t)=\int_0^t x(\tau)\mathrm{d}\tau+y(0)

写成微分形式就是：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=x(t)

写成拉普拉斯域，就是大家熟悉的：

Y(s)=\frac{1}{s}X(s)

所以，一个看起来很简单的 $1/s$ ，其实已经把“状态”“初值”“积分”“微分方程求解”这些概念全都装进去了。理解这个模块如何在数字仿真环境里被计算，是理解后面 Dommel 算法、电感电容等效电路、状态更新公式的第一步。

仿真软件到底在算什么

先不要急着想 Simulink 内部有多少复杂求解器。只看最简单的情况：输入 $x$ ，经过积分器 $1/s$ ，输出 $y$ 。

连续时间里，我们可以说任意时刻都有：

\dot{y}(t)=x(t)

但是数字计算机不可能真的在“任意时刻”计算。它只能在一系列离散时间点上计算：

t_0,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_k,\ t_{k+1}

如果固定步长为 $T$ ，那么：

t_k=kT

于是连续信号 $x(t)$ 和 $y(t)$ ，在计算机里就变成了两个序列：

x[0],x[1],x[2],\cdots

y[0],y[1],y[2],\cdots

这时候，积分器的任务就从“求连续积分”变成了“根据过去和当前的采样值，更新下一步状态”。这也是仿真软件做数值积分的核心。

积分方法的简单回顾

我们上一篇已经介绍了如何从根源推导数值积分方法比如梯形法则，这里简单回顾一下，连续积分可以理解成面积：

y(t_{k})-y(t_{k-1})=\int_{t_{k-1}}^{t_k}x(t)\mathrm{d}t

现在问题就变成了：右边这个面积怎么算？

最朴素的办法，是假设这一小段时间里 $x(t)$ 近似等于左端点 $x[k-1]$ ，那么：

\int_{t_{k-1}}^{t_k}x(t)\mathrm{d}t\approx T x[k-1]

于是得到：

y[k]=y[k-1]+T x[k-1]

这就是显式欧拉积分。它很直观：拿上一步的斜率，往前走一步。

如果改用右端点 $x[k]$ 近似这一段面积：

\int_{t_{k-1}}^{t_k}x(t)\mathrm{d}t\approx T x[k]

就得到：

y[k]=y[k-1]+T x[k]

这就是隐式欧拉积分。

如果用梯形面积近似：

\int_{t_{k-1}}^{t_k}x(t)\mathrm{d}t\approx \frac{T}{2}\left(x[k]+x[k-1]\right)

就得到：

y[k]=y[k-1]+\frac{T}{2}\left(x[k]+x[k-1]\right)

这就是梯形积分。它比单纯取左端点或右端点更平衡，也正是后面电磁暂态仿真里非常重要的一条路。

从s域到z域

现在再回到最开始那个积分算子。连续系统里，输入 $x(t)$ 和输出 $y(t)$ 满足：

Y(s)=\frac{1}{s}X(s)

也就是说，连续域里的积分器，本质上就是一个 $\frac{1}{s}$ 算子。

如果我们要把这个连续积分器搬到数字仿真环境里，一个很直接的想法是：能不能把 $s$ 换成某个关于 $z$ 的表达式？

比如，(先不解释它从哪来) 我们直接采用梯形法常用的替换：

s\approx \frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}

那么连续积分器里的 $\frac{1}{s}$ 就会变成：

\frac{1}{s}\approx \frac{T}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}

把它代回最开始的输入输出关系：

Y(s)=\frac{1}{s}X(s)

在 $z$ 域里就得到：

Y(z)=\frac{T}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}X(z)

两边同乘 $1-z^{-1}$ ：

\left(1-z^{-1}\right)Y(z)=\frac{T}{2}\left(1+z^{-1}\right)X(z)

展开：

Y(z)-z^{-1}Y(z)=\frac{T}{2}X(z)+\frac{T}{2}z^{-1}X(z)

再回到离散时间序列，就是：

y[k]-y[k-1]=\frac{T}{2}\left(x[k]+x[k-1]\right)

整理一下：

y[k]=y[k-1]+\frac{T}{2}\left(x[k]+x[k-1]\right)

这不就是前面刚刚看到的梯形积分吗？

换句话说，如果我们事先知道：

s\approx \frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}

那么从连续域的 $\frac{1}{s}$ 积分器，到离散域的梯形积分递推，就可以很快推出来。

那问题来了：为什么 $s$ 可以这样近似？

现在反过来看。梯形积分的出发点是把一小段面积近似成梯形：

\int_{t_{k-1}}^{t_k}x(t)\mathrm{d}t\approx \frac{T}{2}\left(x[k]+x[k-1]\right)

因为 $y$ 是 $x$ 的积分，所以有：

y[k]-y[k-1]=\frac{T}{2}\left(x[k]+x[k-1]\right)

对这个递推式做 $z$ 变换：

\left(1-z^{-1}\right)Y(z)=\frac{T}{2}\left(1+z^{-1}\right)X(z)

于是：

\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{T}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}

而连续域里：

\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{s}

所以：

\frac{1}{s}\approx \frac{T}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}

反过来就得到：

s\approx \frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}

这就是梯形法，也就是 Tustin 变换，对应的 $s\rightarrow z$ 关系。

所以，所谓 $s$ 到 $z$ 的转换，并不是凭空规定一个代换公式。它背后真正发生的事情是：某一种积分方法，先给出了 $\frac{1}{s}$ 在 $z$ 域里的离散实现；然后我们再把这个离散实现整理成 $s$ 的替换关系。

如果事先把常见积分方法对应的 $s$ 和 $z$ 关系总结出来，那么以后看到连续域里的传递函数、积分算子或微分算子，就可以更快地把它搬到离散域里。这就是下面这张表的意义。

常见 S 到 Z 转换表

下面这张表先采用固定步长 $T$ ，并采用常见的递推约定。不同软件、不同模块、不同输入输出对齐方式，可能会在是否带一个采样延迟上有细微差别；后续做具体电路等效时，要以实际离散方程为准。

方法	积分递推形式	$\frac{1}{s}$ 的离散近似	$s$ 的替换关系	常见特点
显式欧拉 Forward Euler	$y[k]=y[k-1]+T x[k-1]$	$\frac{Tz^{-1}}{1-z^{-1}}$	$\frac{z-1}{T}$	形式简单，使用上一拍输入，稳定性较弱
隐式欧拉 Backward Euler	$y[k]=y[k-1]+T x[k]$	$\frac{T}{1-z^{-1}}$	$\frac{1-z^{-1}}{T}$	数值阻尼较强，稳定性好，但可能需要联立求解
梯形法 / Tustin	$y[k]=y[k-1]+\frac{T}{2}(x[k]+x[k-1])$	$\frac{T}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}$	$\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$	二阶精度，频域映射性质好，电磁暂态中非常常见
二阶 Gear / BDF2	$\frac{3y[k]-4y[k-1]+y[k-2]}{2T}=x[k]$	$\frac{2T}{3-4z^{-1}+z^{-2}}$	$\frac{3-4z^{-1}+z^{-2}}{2T}$	多步隐式方法，数值阻尼更强，常用于抑制振荡

这里要特别注意：表里的 $s \rightarrow z$ 并不是凭空规定出来的，而是从不同的积分近似方法推出来的。换句话说，如果你在连续系统里看到一个 $1/s$ ，你想把它放进数字仿真环境，就必须决定这个 $1/s$ 到底用哪一种离散积分公式来实现。

为什么这和电磁暂态仿真有关

电磁暂态仿真里最基本的动态元件，是电感和电容：

u_L=L\frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}

i_C=C\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}

看到这里，可以先停一下。这个形式是不是和前面的积分器非常像？

前面我们讲的是：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=x(t)

写到 $s$ 域就是：

Y(s)=\frac{1}{s}X(s)

而电感、电容只是把变量换成了电压和电流。比如电容关系：

i_C=C\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}

可以改写成：

\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{C}i_C

再写成积分形式，比如电容：

u_C(t)=\frac{1}{C}\int i_C(t)\mathrm{d}t

看，这和 $y=x/s$ 其实是同一件事：输入是电流，输出是电压，中间差了一个 $\frac{1}{C}$ 比例系数和一个积分算子 $\frac{1}{s}$ 。

电感也是类似的：

\frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{L}u_L

所以从数学本质上说，电磁暂态仿真并不是突然冒出一套完全不同的理论。它首先是在求解一组由电感、电容、线路和控制环节组成的常微分方程，或者微分代数方程。只要进入数字仿真环境，就必须把这些连续关系改写成离散递推。

选择显式欧拉、隐式欧拉、梯形法，或者 Gear 方法，本质上就是选择不同的 ODE 数值积分方式，进而得到不同的离散等效模型。

Dommel 算法之所以经典，一个重要原因就是它把这种离散化后的动态元件，整理成了电路工程师熟悉的形式：等效导纳 + 历史电流源。这样，电感、电容、线路等动态元件就可以被放进节点导纳矩阵里统一求解（下一章会讲到）。

这一篇先不展开 RLC Dommel 等效电路。你只需要记住一件事：从 $1/s$ 积分器到离散递推，再到 $s \rightarrow z$ 替换，是连续仿真模型进入数字计算机的入口。后面讲 Dommel 算法时，很多看起来突然出现的“历史项”，其实都来自这里。

小结

这一篇只做一件事：把 Simulink 里看似简单的积分算子拆开。

连续时间里，积分算子表示 $Y(s)=\frac{1}{s}X(s)$ 。
数字仿真环境里，计算机只能在采样点上更新状态。
不同的面积近似方式，会得到不同的离散递推公式。
每一种递推公式，都对应一种 $s \rightarrow z$ 替换关系。
电磁暂态仿真中的电感、电容离散化，本质上也是这个问题。

读到这里，读者可能会发现，所谓 $s$ 域、 $z$ 域、数值积分、仿真软件求解器，其实不是几套互不相干的知识。它们都在回答同一个工程问题：连续世界里的微分方程，如何被数字计算机一步一步算出来。

参考资料

华冬英、李祥贵，《微分方程的数值解法与程序实现》。
Neville Watson and Jos Arrillaga 著，陈贺、白宏、项祖涛译，《电力系统电磁暂态仿真 Power Systems Electromagnetic Transients Simulation》。

RLGC 电路的 Dommel 形式

Wed, 17 Jun 2026 00:00:00 +0800

很多初学者第一次看到 Dommel 算法时，会被“等效电导”“历史电流源”“伴随模型”这些词吓住。尤其是动态元件突然被改写成一个导纳并联一个电流源，看起来像是电路仿真里凭空长出来的一套新理论。

这篇文章我们先不从这个式子开始。我们先回到最普通、最熟悉的一阶微分方程：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=f(t)

或者写成积分器的样子：

y(t)=\int f(t)\,\mathrm{d}t

只要把这个积分器用梯形法则离散，再把式子里的变量换成电路里的电压、电流，就会自然走到 Dommel 形式。所谓历史电流源，并不是新物理概念，而是普通微分方程离散以后留下的上一拍信息。

前两篇文章的铺垫已经很充足了，这里也是快快的回顾一下，熟悉的读者可以跳过。

从最熟悉的积分器开始

设有一个最简单的积分问题：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=x(t)

也就是：

y(t)=\int x(t)\,\mathrm{d}t

在连续域里，它对应的传递函数就是：

\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{s}

这就是仿真软件里最常见的积分算子。输入是 $x$ ，输出是 $y$ ，连续时间下的含义非常朴素：输出是输入对时间的累积。

现在进入离散仿真。设仿真步长为 $T$ ，第 $k$ 步的输入、输出分别为 $x_k$ 和 $y_k$ 。用梯形法则近似一步内的积分面积：

y_k-y_{k-1}=\frac{T}{2}(x_k+x_{k-1})

整理一下：

y_k=y_{k-1}+\frac{T}{2}(x_k+x_{k-1})

这就是梯形积分器最核心的递推式。它只做了一件事：当前输出等于上一拍输出，再加上当前输入和上一拍输入形成的梯形面积。

从 S 到 Z：积分器的离散形式

对上面的递推式做 $z$ 变换：

Y(z)-z^{-1}Y(z)=\frac{T}{2}X(z)+\frac{T}{2}z^{-1}X(z)

所以：

Y(z)(1-z^{-1})=\frac{T}{2}(1+z^{-1})X(z)

得到离散积分器：

\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{T}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}

如果连续域积分器是 $1/s$ ，那么梯形法则给出的对应关系就是：

\frac{1}{s}\approx\frac{T}{2}\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}

也可以反过来写成常见的 $s$ 到 $z$ 替换：

s\approx\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}

到这里为止，我们完全没有讲电路，也没有讲 Dommel。我们只是把一个普通积分器离散化了。

但这一步已经足够了。因为电感、电容的本质，就是把电压或电流放进这个积分器里。

电感只是一个电流积分器

先把电感看成一个二端元件。规定电感两端电压为 $u$ ，支路电流为 $i$ ，电流参考方向和电压参考方向保持一致。

电感可以看成电流积分器

电感的连续时间关系是：

u=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}

整理成积分器形式：

\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{L}u

也就是说，电感电流 $i$ 是电感两端电压 $u/L$ 的积分：

i(t)=i(0)+\int \frac{1}{L}u(t)\,\mathrm{d}t

这和刚才的 $y'=x$ 完全一样，只是变量名换了：

普通积分器	电感
$y$	$i$
$x$	$u/L$
$y'=x$	$\mathrm{d}i/\mathrm{d}t=u/L$

套用梯形积分器：

i_k-i_{k-1}=\frac{T}{2L}(u_k+u_{k-1})

整理为当前步未知量加历史项：

i_k=\frac{T}{2L}u_k+\left(i_{k-1}+\frac{T}{2L}u_{k-1}\right)

令：

G_L=\frac{T}{2L}

上一拍折算出来的历史项记为：

I_{L,\mathrm{his}}=i_{k-1}+G_Lu_{k-1}

于是得到：

i_k=G_Lu_k+I_{L,\mathrm{his}}

这个式子已经开始有 Dommel 的味道了。但先别急着给它命名。我们只看它的结构：

第一项含有当前未知电压 $u_k$ 。
历史项只含有上一拍的 $i_{k-1}$ 和 $u_{k-1}$ ，当前步开始前已经知道。

这就是电感的 Dommel 形式。如果不了解数值积分算法，初学时看到这个式子会觉得很突然；但从积分器角度看，它其实只是把前面的梯形积分公式重新整理了一下。

普通积分器的梯形递推式是：

y_k=y_{k-1}+\frac{T}{2}(x_k+x_{k-1})

对电感来说，只不过是把：

y_k\rightarrow i_k,\qquad x_k\rightarrow \frac{u_k}{L}

代进去：

i_k=i_{k-1}+\frac{T}{2}\left(\frac{u_k}{L}+\frac{u_{k-1}}{L}\right)

再把含有当前电压 $u_k$ 的项放到前面，把上一拍已经知道的量放到括号里：

i_k=\frac{T}{2L}u_k+\left(i_{k-1}+\frac{T}{2L}u_{k-1}\right)

所以所谓 $G_L$ 和 $I_{L,\mathrm{his}}$ ，不是额外发明出来的新东西，而只是给这两部分重新起了名字：

G_L=\frac{T}{2L},\qquad I_{L,\mathrm{his}}=i_{k-1}+G_Lu_{k-1}

也就是说， $i_k$ 就是积分器里的 $y_k$ ， $u_k/L$ 就是积分器里的 $x_k$ 。Dommel 形式只是把“当前未知量”和“上一拍历史量”分开放，方便后面进入电路求解器。

电容只是一个电压积分器

电容可以看成电压积分器

电容的连续时间关系是：

i_C=C\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}

整理成积分器形式：

\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{C}i_C

也就是说，电容电压 $u_C$ 是电容电流 $i_C/C$ 的积分：

u_C(t)=u_C(0)+\int \frac{1}{C}i_C(t)\,\mathrm{d}t

它和刚才的普通积分器也是同一个形式：

普通积分器	电容
$y$	$u_C$
$x$	$i_C/C$
$y'=x$	$\mathrm{d}u_C/\mathrm{d}t=i_C/C$

所以第一步仍然只是套用同一个梯形积分器。普通积分器是：

y_k=y_{k-1}+\frac{T}{2}(x_k+x_{k-1})

对电容来说，只是把：

y_k\rightarrow u_k,\qquad x_k\rightarrow \frac{i_k}{C}

代进去：

u_k-u_{k-1}=\frac{T}{2C}(i_k+i_{k-1})

注意，这一步得到的是“当前电压怎么由电流积分得到”。它和普通积分器完全同源，没有任何额外技巧。

但是在电路求解里，我们更常希望支路关系写成“当前电流由当前电压和历史量决定”的形式。于是把上式重新整理，把当前电流 $i_k$ 单独解出来：

i_k=\frac{2C}{T}u_k-\frac{2C}{T}u_{k-1}-i_{k-1}

令：

G_C=\frac{2C}{T}

历史项为：

I_{C,\mathrm{his}}=-G_Cu_{k-1}-i_{k-1}

于是：

i_k=G_Cu_k+I_{C,\mathrm{his}}

所以电容这里的 $u_k$ 就是积分器里的 $y_k$ ， $i_k/C$ 就是积分器里的 $x_k$ 。它看起来比电感多绕了一步，只是因为电容的天然积分结果是电压，而我们最后又把式子反过来整理成电流形式。

换句话说，电容的 Dommel 形式也不是新物理模型。它只是把梯形积分递推式里的当前项和历史项分开命名：

$G_Cu_k$ ：当前电压对应的当前电流项。
$I_{C,\mathrm{his}}$ ：上一拍电压和上一拍电流折算出来的历史项。

R 和 G：没有积分器，所以没有历史项

电阻和电导没有微分方程，也没有积分器。

电阻：

u_k=Ri_k

所以：

i_k=\frac{1}{R}u_k

令：

G_R=\frac{1}{R}

得到：

i_k=G_Ru_k

如果元件本来就是电导 $G$ ：

i_k=Gu_k

所以 R 和 G 没有历史源：

I_{\mathrm{his}}=0

这也很好理解：电阻不储能，不记忆上一拍状态。

Dommel 形式：把物理元件翻译成网络求解器的语言

现在把前面的结果放在一起，就可以给它一个统一名字了：

元件	连续关系	积分器视角	梯形离散后整理形式	等效导纳	历史项
R	$u=Ri$	无积分器	$i_k=G_Ru_k$	$G_R=1/R$	$0$
G	$i=Gu$	无积分器	$i_k=Gu_k$	$G$	$0$
L	$u=L\mathrm{d}i/\mathrm{d}t$	$i$ 积分 $u/L$	$i_k=G_Lu_k+I_{L,\mathrm{his}}$	$G_L=T/(2L)$	$i_{k-1}+G_Lu_{k-1}$
C	$i=C\mathrm{d}u/\mathrm{d}t$	$u$ 积分 $i/C$	$i_k=G_Cu_k+I_{C,\mathrm{his}}$	$G_C=2C/T$	$-G_Cu_{k-1}-i_{k-1}$

所谓 Dommel 形式，就是把离散递推式整理成：

i_k=G_{\mathrm{eq}}u_k+I_{\mathrm{his}}

这个式子有两层含义。第一层是物理形式：元件仍然是原来的电阻、电导、电感和电容。电阻和电导是瞬时代数关系；电感储存磁场能量，电流来自电压积分；电容储存电场能量，电压来自电流积分。Dommel 形式没有改变这些物理关系。

第二层是计算形式：在某一个离散时刻 $k$ ，梯形积分已经把微分关系变成了代数递推关系。把当前未知量和上一拍已知量分开以后，动态元件在求解器眼里就临时变成了一个等效导纳并联一个历史电流源：

$G_{\mathrm{eq}}u_k$ 含有当前未知电压，要进入当前步的节点导纳矩阵。
$I_{\mathrm{his}}$ 只含上一拍的电压、电流或内部状态，在当前步开始前已经算好，可以进入右端电流注入。

左边就是 Dommel 形式最常用的物理图像：一个等效导纳并联一个历史电流源，也就是诺顿等效形式。右边是同一个端口关系的戴维南等效形式：历史电压源串联等效电阻。两种画法对外端口等效，只是节点导纳法装配时更偏爱左边这种并联形式。

所以 $I_{\mathrm{his}}$ 不是神秘电流源，也不是凭空加进电路里的新物理元件。它就是梯形积分器递推式里那些“上一拍”的东西，只是被挪到了电路方程右边。

笔者初学的时候感觉，“历史电流源”这个名字其实有一点误导。因为历史项里不一定只有电流，也可能有上一拍电压，甚至有程序内部保存的其他状态变量。比如上面的电感历史项里有 $i_{k-1}$ 和 $u_{k-1}$ ，电容历史项里也同时出现了 $u_{k-1}$ 和 $i_{k-1}$ 。从数学角度看，算法并不关心它们原来叫电压还是电流；只要它们来自上一拍，在当前步开始前已经知道，就都属于历史量。

之所以最后把它画成“历史电流源”，是因为我们选择了诺顿等效的写法。观察左边的并联等效图， $G_{\mathrm{eq}}u_k$ 是等效导纳支路从上节点流向下节点的电流， $I_{\mathrm{his}}$ 是电流源支路从上节点流向下节点的电流。两条并联支路的电流相加，就得到这个端口从节点 $k$ 流向节点 $m$ 的总支路电流：

i_k=G_{\mathrm{eq}}u_k+I_{\mathrm{his}}

如果把同一个端口关系改画成戴维南等效，就可以写成历史电压源串联等效电阻的形式：

u_k=R_{\mathrm{eq}}i_k+U_{\mathrm{his}}

其中：

R_{\mathrm{eq}}=\frac{1}{G_{\mathrm{eq}}},\qquad U_{\mathrm{his}}=\frac{I_{\mathrm{his}}}{G_{\mathrm{eq}}}

这里把戴维南图中的历史电压源定义为上端为正、下端为负，因此它在端口电压 $u_k$ 中表现为加号。如果后续画图时把电压源极性反过来，只需要把公式里的 $+U_{\mathrm{his}}$ 改成 $-U_{\mathrm{his}}$ 即可。

所以“历史电流源”更准确地说，是“由历史变量折算出来、在诺顿等效中表现为电流源的那一项”。它的来源是历史变量集合，表现形式才是电流源。

电路仿真喜欢这种写法，是因为节点导纳法天然要解当前节点电压。只要支路电流都能写成 $G_{\mathrm{eq}}u_k+I_{\mathrm{his}}$ ，程序就可以把 $G_{\mathrm{eq}}$ 装配进导纳矩阵，把 $I_{\mathrm{his}}$ 装配进右端向量。动态元件的物理记忆仍然保留在历史项里，但当前步求解器面对的是一组普通代数方程。这就是“伴随模型”的工程意义：不是改写物理本质，而是把微分方程的递推关系翻译成网络求解器容易处理的语言。

例子一：R+L 串联支路

先看 R 和 L 串联。支路电压为：

u=Ri+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}

这里动态变量仍然是支路电流 $i$ 。把电感电压写成：

u_L=u-Ri

再代入电感的梯形积分式：

i_k-i_{k-1}=\frac{T}{2L}\left[(u_k-Ri_k)+(u_{k-1}-Ri_{k-1})\right]

整理当前项：

\left(R+\frac{2L}{T}\right)i_k=u_k+u_{k-1}+\left(\frac{2L}{T}-R\right)i_{k-1}

于是：

i_k=G_{RL}u_k+I_{RL,\mathrm{his}}

其中：

G_{RL}=\frac{1}{R+\frac{2L}{T}}

I_{RL,\mathrm{his}}=G_{RL}\left[u_{k-1}+\left(\frac{2L}{T}-R\right)i_{k-1}\right]

这个例子说明，串联电阻并没有改变套路。它只是让等效导纳的分母里多了一个 $R$ ，历史项里多了一些上一拍电压、电流。

例子二：R+C 串联支路

R 和 C 串联时：

u=Ri+u_C

电容电压满足梯形积分：

u_{C,k}=u_{C,k-1}+\frac{T}{2C}(i_k+i_{k-1})

代入支路电压：

u_k=Ri_k+u_{C,k-1}+\frac{T}{2C}(i_k+i_{k-1})

整理：

\left(R+\frac{T}{2C}\right)i_k=u_k-u_{C,k-1}-\frac{T}{2C}i_{k-1}

于是：

i_k=G_{RC}u_k+I_{RC,\mathrm{his}}

其中：

G_{RC}=\frac{1}{R+\frac{T}{2C}}

I_{RC,\mathrm{his}}=-G_{RC}\left(u_{C,k-1}+\frac{T}{2C}i_{k-1}\right)

如果程序不想显式保存 $u_C$ ，也可以用上一拍的支路关系 $u_{C,k-1}=u_{k-1}-Ri_{k-1}$ 替换。保存哪个状态，是实现选择；离散化思想没有变。

例子三：R+L+C 串联支路

R、L、C 串联时：

u=Ri+u_L+u_C

电感的梯形形式可以写成：

u_{L,k}=\frac{2L}{T}(i_k-i_{k-1})-u_{L,k-1}

电容的梯形形式可以写成：

u_{C,k}=u_{C,k-1}+\frac{T}{2C}(i_k+i_{k-1})

代入总电压：

u_k=Ri_k+\frac{2L}{T}(i_k-i_{k-1})-u_{L,k-1}+u_{C,k-1}+\frac{T}{2C}(i_k+i_{k-1})

把当前电流 $i_k$ 收集起来：

\left(R+\frac{2L}{T}+\frac{T}{2C}\right)i_k=u_k-\left[u_{C,k-1}-u_{L,k-1}+\left(\frac{T}{2C}-\frac{2L}{T}\right)i_{k-1}\right]

于是：

i_k=G_{RLC}u_k+I_{RLC,\mathrm{his}}

其中：

G_{RLC}=\frac{1}{R+\frac{2L}{T}+\frac{T}{2C}}

I_{RLC,\mathrm{his}}=-G_{RLC}\left[u_{C,k-1}-u_{L,k-1}+\left(\frac{T}{2C}-\frac{2L}{T}\right)i_{k-1}\right]

这个式子看起来长了一点，但它仍然只是在做同一件事：先用梯形法则离散积分器，再把当前未知量和历史已知量分开。

不过 RLC 串联支路比前面的 RL、RC 更容易让人误解。它有两个储能元件，因此程序内部必须保存足够的状态量。外部端口电压只告诉我们：

u=u_R+u_L+u_C

它并不能单独告诉我们电感上分了多少电压、电容上分了多少电压。上面的历史项里出现了 $u_{L,k-1}$ 和 $u_{C,k-1}$ ，正是在提醒这一点：把支路最后压缩成一端口 Dommel 形式，并不等于把内部状态消掉了。程序仍然需要知道上一拍电感和电容的能量分布，或者保存与它等价的一组状态变量。

如果没有额外说明，仿真程序通常会采用零初值：电感初始电流为 $0$ ，电容初始电压为 $0$ 。在这个串联支路的写法里，第一步计算时就相当于把历史量取成初始量，例如 $i_0$ 、 $u_{C,0}$ ，以及这个推导里显式出现的 $u_{L,0}$ 。若用户给了非零初值，就不能再把这些历史量默认为零，而要把它们写进第一拍的历史项里。更常见的物理初值是“电感电流初值”和“电容电压初值”；至于是否显式保存 $u_L$ ，还是用其他等价状态把它算出来，是程序实现上的选择。

所以这里真正要注意的是：一端口 Dommel 形式只是对外部求解器说“这一拍我可以写成一个等效导纳加一个已知源”。它没有说支路内部只剩一个数。对于含有多个储能元件的支路，历史项背后可能是一组状态，而不是一个简单的上一拍端口电压或端口电流。

实际程序里，RLC 串联支路也可以拆成多个伴随模型并引入内部节点，不一定非要压缩成一个一端口公式。本文这样写，是为了让读者看到：复杂一点的支路也没有逃离普通微分方程数值解。

小结

这篇文章真正想拆掉的是 Dommel 形式的神秘外衣。

从 $y'=x$ 出发，梯形法则给出离散积分器。
这个离散积分器对应 $s\approx\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ 。
电感是“电压积分成电流”，电容是“电流积分成电压”。
梯形离散以后，当前未知量进入等效导纳，上一拍信息进入历史项。
最后整理出的 $I_{\mathrm{his}}$ ，名字里虽然有“电流”，但数学上本质是“来自上一拍的历史量”或“当前步已经显式已知的量”。在诺顿等效里，它被折算成一个电流源来表示；换成别的等效形式，它也可以表现成历史电压源或其他等价写法。

所以，如果已经理解了微分方程的数值通用解法，再理解 Dommel 方法并不难。它只是把数学上的离散递推，翻译成了电路网络求解器喜欢的语言。

从支路电压到节点电压法

Sat, 27 Jun 2026 00:00:00 +0800

上一篇文章里，我们一直把一个支路两端的电压写成 $u_k$ 。

这里的下标 $k$ 表示离散时刻，不是节点编号。换句话说， $u_k$ 的意思是“第 $k$ 个时间步的支路电压”。这一点很容易和节点电压法里的节点编号混在一起，所以从这篇文章开始，我们把两个概念分开写。

把支路两端电压先记成 $u$ ，是一种很适合入门的写法。读者可以先把注意力放在“一个元件或一个支路怎么离散”，不用一上来就面对完整电路网络里的节点编号、矩阵装配和右端向量符号约定。

但是实际电路仿真程序通常不会真的把每条支路的端口电压都当成独立未知量。更常见的做法是节点电压法：先选定参考地，再把每个非参考节点的电压作为未知量。支路两端电压不是新的未知量，而是两个节点电压之差。

也就是说，前面写的：

u

到了网络求解器里，通常要换成：

u_{ab}=u_a-u_b

其中 $a$ 和 $b$ 是节点编号， $u_a$ 和 $u_b$ 是当前时刻这两个节点对参考地的节点电压。若要显式写离散时刻，可以写成：

u_{ab}^{(k)}=u_a^{(k)}-u_b^{(k)}

这里上标 $(k)$ 表示第 $k$ 个离散时刻。为了让公式更轻，后文默认都在同一个当前时刻讨论，于是省略时间上标，只写：

u_{ab}=u_a-u_b

从一个 R 支路开始

先看最简单的电阻支路。设电阻连接在节点 $a$ 和节点 $b$ 之间，支路电流参考方向从 $a$ 流向 $b$ 。

R 支路连接两个节点

电阻支路关系是：

i=G(u_a-u_b)

其中 $G=1/R$ 。

这句话已经很接近节点电压法了，因为右边只剩节点电压。对节点 $a$ 来说，这条支路从节点 $a$ 流出去的电流是：

i_a=G(u_a-u_b)

对节点 $b$ 来说，同一条支路从节点 $b$ 流出去的电流是反方向：

i_b=G(u_b-u_a)

把这两行放在一起：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G&-G\\-G&G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}

这就是最普通的电阻支路对节点导纳矩阵的贡献。

它也解释了为什么电路程序喜欢节点电压法。只要每条支路电流都能写成节点电压的线性组合，程序就可以把每条支路贡献的 $2\times2$ 小矩阵装配到全局矩阵里。支路连接哪两个节点，就把这四个数加到哪两个节点对应的行列上。

L 支路

电阻支路只有当前节点电压，没有历史项。接下来换成电感支路，就会看到 Dommel 形式真正进入节点电压法的样子。

上一篇文章已经推过电感的梯形离散形式：

i=G_Lu+I_{L,\mathrm{his}}

其中：

G_L=\frac{T}{2L}

I_{L,\mathrm{his}}=i_{k-1}+G_Lu_{k-1}

这里的 $k-1$ 仍然表示上一拍离散时刻。现在把这条电感支路接在节点 $a$ 和节点 $b$ 之间，并规定支路电流参考方向从 $a$ 流向 $b$ ，支路电压参考方向也取：

u=u_a-u_b

于是支路电流就是：

i=G_L(u_a-u_b)+I_{L,\mathrm{his}}

现在要规定清楚正负号。本文采用下面这套约定：

支路电流参考方向从节点 $a$ 流向节点 $b$ 。
对每个节点写方程时，从该节点流出的支路电流记为正。
所以对节点 $a$ ，这条支路电流是流出节点，贡献为 $+i$ 。
对节点 $b$ ，同一条支路电流是流入节点，按“流出为正”的约定，贡献为 $-i$ 。

因此：

i_a=G_L(u_a-u_b)+I_{L,\mathrm{his}}

i_b=-i=G_L(u_b-u_a)-I_{L,\mathrm{his}}

把两行放到一起，就得到节点电压法里最常见的形式：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_L&-G_L\\-G_L&G_L\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}I_{L,\mathrm{his}}\\-I_{L,\mathrm{his}}\end{bmatrix}

这就是截图里那种结构。把电感换成任意已经整理好的 Dommel 支路，只要它能写成：

i=G_{\mathrm{eq}}u+I_{\mathrm{his}}

并且支路方向仍然从 $a$ 指向 $b$ ，就有：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_{\mathrm{eq}}&-G_{\mathrm{eq}}\\-G_{\mathrm{eq}}&G_{\mathrm{eq}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}I_{\mathrm{his}}\\-I_{\mathrm{his}}\end{bmatrix}

左边的两个量 $i_a,i_b$ ，表示这条支路分别对节点 $a$ 、节点 $b$ 的“流出电流贡献”。如果程序采用“流入节点为正”或者把所有已知项移到方程右端，历史项向量的符号会跟着变，但物理方向和支路方程本身没有变。

R+L+C 串联支路

现在回到上一篇文章最后的 RLC 串联支路。

支路层面已经得到：

i=G_{RLC}u+I_{RLC,\mathrm{his}}

其中：

G_{RLC}=\frac{1}{R+\frac{2L}{T}+\frac{T}{2C}}

I_{RLC,\mathrm{his}}=-G_{RLC}\left[u_{C,k-1}-u_{L,k-1}+\left(\frac{T}{2C}-\frac{2L}{T}\right)i_{k-1}\right]

注意这里的 $k-1$ 是离散时刻，不是节点编号。本文统一用 $a,b$ 表示节点编号，用 $u_a,u_b$ 表示节点电压，避免把“时间步下标”和“节点编号下标”混在一起。

如果 RLC 串联支路连接节点 $a$ 和节点 $b$ ，并规定支路电流从 $a$ 流向 $b$ ，那么：

u=u_a-u_b

代入支路 Dommel 形式：

i=G_{RLC}(u_a-u_b)+I_{RLC,\mathrm{his}}

于是它对两个节点的贡献就是：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_{RLC}&-G_{RLC}\\-G_{RLC}&G_{RLC}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}I_{RLC,\mathrm{his}}\\-I_{RLC,\mathrm{his}}\end{bmatrix}

这和电阻支路的矩阵结构完全一样。不同的只是：

电阻支路的导纳 $G$ 是常数。
RLC 串联支路的等效导纳 $G_{RLC}$ 来自梯形离散后的伴随模型。
RLC 串联支路多了历史项 $I_{RLC,\mathrm{his}}$ ，它要进入当前步的右端向量。

所以从网络求解器的角度看，Dommel 形式的好处就在这里：动态支路虽然内部有电感、电容和历史状态，但在当前时刻装配矩阵时，它仍然像一个“等效导纳加已知源”的二端支路。

展开 RLC 的内部节点

上面的 RLC 写法，是把整个 R+L+C 串联支路压缩成一个二端支路，只看外部两个节点 $a$ 和 $b$ 。这一步对网络求解器很友好，因为它只需要给节点 $a$ 和节点 $b$ 装配一个 $2\times2$ 小矩阵。

现在把难度加一点：不再把 RLC 压缩成一个整体，而是把 R、L、C 三个元件各自看成一条单独支路。这样串联支路内部会多出两个节点。设节点顺序从左到右为：

a\rightarrow c\rightarrow d\rightarrow b

其中：

R 支路连接节点 $a$ 和节点 $c$ 。
L 支路连接节点 $c$ 和节点 $d$ 。
C 支路连接节点 $d$ 和节点 $b$ 。

RLC 串联支路展开后的内部节点电压

三个支路的电压分别是：

u_R=u_a-u_c

u_L=u_c-u_d

u_C=u_d-u_b

支路方向都取从左到右，于是三条支路可以写成：

i_R=G_R(u_a-u_c)

i_L=G_L(u_c-u_d)+I_{L,\mathrm{his}}

i_C=G_C(u_d-u_b)+I_{C,\mathrm{his}}

这里 $G_R=1/R$ ，而 $G_L$ 、 $G_C$ 来自电感和电容各自的 Dommel 伴随模型。历史项的正负号仍然沿用前面的约定：支路方向从左到右，流出节点为正。

把这三条支路分别装配到节点 $a,c,d,b$ 上，就得到一个 $4\times4$ 矩阵：

\begin{bmatrix}i_a\\i_c\\i_d\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_R&-G_R&0&0\\-G_R&G_R+G_L&-G_L&0\\0&-G_L&G_L+G_C&-G_C\\0&0&-G_C&G_C\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_c\\u_d\\u_b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\I_{L,\mathrm{his}}\\-I_{L,\mathrm{his}}+I_{C,\mathrm{his}}\\-I_{C,\mathrm{his}}\end{bmatrix}

这个大矩阵其实没有新东西。它只是把三条二端支路的小矩阵加在一起：

R 支路把 $G_R$ 加到 $a,c$ 对应的四个位置。
L 支路把 $G_L$ 加到 $c,d$ 对应的四个位置，同时把 $+I_{L,\mathrm{his}}$ 加到节点 $c$ ，把 $-I_{L,\mathrm{his}}$ 加到节点 $d$ 。
C 支路把 $G_C$ 加到 $d,b$ 对应的四个位置，同时把 $+I_{C,\mathrm{his}}$ 加到节点 $d$ ，把 $-I_{C,\mathrm{his}}$ 加到节点 $b$ 。

所以，中间节点 $d$ 的历史项看起来是：

-I_{L,\mathrm{his}}+I_{C,\mathrm{his}}

这不是新的物理源，而是因为节点 $d$ 同时连着 L 和 C：L 支路的电流方向是从 $c$ 到 $d$ ，所以对 $d$ 来说历史电流是流入；C 支路方向是从 $d$ 到 $b$ ，所以对 $d$ 来说历史电流是流出。按“流出为正”的约定，两项自然一负一正。

这也解释了为什么程序里常说“装配”。所谓装配，不是重新推一遍全电路方程，而是每条支路只关心自己两端节点，把自己的小矩阵和历史项加到全局矩阵、全局向量对应的位置上。

实战：正弦电压源驱动 RLC 支路

最后做一个很小的实战。为了不把问题一下子推进到改进节点电压法，这里先采用最简单的电路：理想正弦电压源一端接地，另一端接 RLC 串联支路。

这时右端节点是参考地：

u_b=0

左端节点由电压源强制给定：

u_a=v_s(t)

所以 RLC 支路两端电压不是未知量，而是已知量：

u=u_a-u_b=v_s(t)

这一步很重要。这个例子不是在求一个含浮接理想电压源的完整节点矩阵，而是在已知端口电压的条件下，计算 RLC 串联支路的动态响应。也就是说，节点电压法里的“参考地”和“已知节点电压”已经先处理好了，下面只需要沿用前面推出来的 RLC Dommel 递推式。

取：

v_s(t)=100\sin(2\pi 50t)

示例参数为：

R=10\ \Omega,\qquad L=20\ \mathrm{mH},\qquad C=100\ \mu\mathrm{F},\qquad T=20\ \mu\mathrm{s}

计算流程可以按下面理解：

初始时刻默认 $u_C(0)=0$ 、 $i(0)=0$ ，因此第一拍的历史量来自零初值。
每一个当前步先由电压源得到 $u_k=v_s(t_k)$ 。
再把上一拍保存的 $u_{L,k-1}$ 、 $u_{C,k-1}$ 、 $i_{k-1}$ 合成历史项，求出当前步 $i_k$ 。
最后用当前步 $i_k$ 更新 $u_{L,k}$ 和 $u_{C,k}$ 。下一拍再计算历史项时，用的就是这组刚刚更新过的状态。

所以程序里看起来是在更新 $u_L$ 、 $u_C$ ，本质上是在保存电感和电容的内部状态。 $I_{\mathrm{his}}$ 不是一个必须单独长期保存的神秘变量；它可以在每一拍开始时，由上一拍状态重新算出来。

Python 代码如下，完整脚本保存在同目录的 simulate-rlc-voltage-source.py：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

R = 10.0
L = 20e-3
C = 100e-6
f = 50.0
U_peak = 100.0
T = 20e-6
t_end = 0.12

t = np.arange(0.0, t_end + T, T)
u = U_peak * np.sin(2.0 * np.pi * f * t)
i = np.zeros_like(t)
u_L = np.zeros_like(t)
u_C = np.zeros_like(t)

G_rlc = 1.0 / (R + 2.0 * L / T + T / (2.0 * C))

for k in range(1, len(t)):
 history = u_C[k - 1] - u_L[k - 1] + (T / (2.0 * C) - 2.0 * L / T) * i[k - 1]
 i[k] = G_rlc * (u[k] - history)
 u_L[k] = 2.0 * L / T * (i[k] - i[k - 1]) - u_L[k - 1]
 u_C[k] = u_C[k - 1] + T / (2.0 * C) * (i[k] + i[k - 1])

fig, ax1 = plt.subplots(figsize=(8.6, 3.8))
ax1.plot(t * 1000.0, u, label="source voltage")
ax1.set_xlabel("time / ms")
ax1.set_ylabel("voltage / V")
ax1.grid(True)

ax2 = ax1.twinx()
ax2.plot(t * 1000.0, i, color="tab:red", label="branch current")
ax2.set_ylabel("current / A")

fig.tight_layout()
fig.savefig("rlc-voltage-source-result.svg", format="svg")

仿真结果如下：

正弦电压源驱动 RLC 串联支路的响应

左图中蓝色曲线是外加电压源，红色曲线是 RLC 串联支路电流；右图画出同一时刻 R、L、C 三个元件各自承担的电压。由于这里的电容、电感初值都取零，刚开始会有一段暂态；经过几个周波以后，响应逐渐进入 50 Hz 正弦稳态。这个例子虽然很小，但它已经把前面的推导串起来了：先由电压源给出当前步支路电压，再用历史项保存上一拍的电感、电容状态，最后递推出当前步支路电流。

读者的思考

很多资料讲 Dommel 形式，讲到：

i=Gv+I_{\mathrm{his}}

就停下来了。这个式子当然重要，但真正写程序时，很快会遇到一堆它没有直接回答的问题。

比如，刚刚的例子，求解的电路为什么一定要有参考地？如果一个网络完全浮起来，不接地，节点电压矩阵会发生什么？再比如，理想电压源如果不是一端接地，而是浮接在两个非参考节点之间，还能不能直接塞进普通节点导纳矩阵？

这篇文章先不深究这些问题。本文只做一件事：把单条支路的 Dommel 形式，接到节点电压差和节点矩阵装配上。至于参考地、浮接电压源、改进节点电压法、理想源约束方程、矩阵奇异这些问题，后面单独开文章再慢慢拆。

源类元件如何进入节点电压法

Mon, 29 Jun 2026 00:00:00 +0800

上一篇文章把普通支路接进了节点电压法。电阻支路可以写成：

i=G(u_a-u_b)

电感、电容和 RLC 串联支路离散以后，也可以整理成：

i=G_{\mathrm{eq}}(u_a-u_b)+I_{\mathrm{his}}

所以它们进入节点矩阵时，结构都很像：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G&-G\\-G&G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}I_{\mathrm{his}}\\-I_{\mathrm{his}}\end{bmatrix}

源类元件会让事情多一层。前面 R、L、C 支路的电流主要由自己两端的电压和历史状态决定；而电流源、电压源和受控源，还会引入一个“源量”。

这个源量有两种常见来源。一种是外部显式给定的信号，例如一个工频正弦电流、工频正弦电压、控制器输出的 PWM 占空比，或者某个仿真模块传进来的参考量；这种情况下，源量在当前步开始前通常已经是已知量。另一种是来自电路内部，例如另两个节点之间的电压，或者某条支路的电流；这种情况下，源量可能和当前待求的节点电压、支路电流耦合在一起。

所以本文先从最普通的显式电流源、显式电压源讲起，再看它们推广成受控源以后，怎样写进节点电压法的矩阵。

本文仍然沿用上一篇文章的约定：

节点电压写作 $u_a,u_b,u_c,u_d$ 。
输出支路方向从节点 $a$ 指向节点 $b$ 。
对节点写方程时，从该节点流出的支路电流记为正。
控制电压写作 $u_{cd}=u_c-u_d$ 。

显式电流源

先看最普通的独立电流源。设电流源接在节点 $a$ 和节点 $b$ 之间，电流方向从 $a$ 指向 $b$ ，当前步电流值为已知量 $I_s$ ：

显式电流源连接节点 a 和节点 b

i=I_s

按“流出节点为正”的约定，对两个端点有：

i_a=I_s

i_b=-I_s

写成矩阵形式就是：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}I_s\\-I_s\end{bmatrix}

这个式子很直观：理想电流源不提供导纳，所以左边的矩阵是零矩阵；它只给当前步节点方程贡献一个已知电流向量。

显式电流源的工程建模

工程软件里，理想电流源经常不会孤零零地放进网络。很多模型会给电流源并联一个很大的电阻，也就是并联一个很小的导纳。这样做不是为了改变电流源的主要物理作用，而是为了让这个端口在节点矩阵里多少有一点导纳约束。

为什么要这样做？先看一个“不并联”的例子。只给一个理想电流源时，支路本身不提供导纳约束。即使这个电流源再串联一个电阻，只要从节点矩阵角度把中间节点也列出来，局部矩阵仍然可能是奇异的。

看下面这个例子。显式电流源从节点 $a$ 指向节点 $b$ ，电流为 $I_s$ ；节点 $b$ 再经过电阻 $R$ 连接到节点 $d$ ：

显式电流源串联电阻时，电流源端口仍然不提供导纳约束

电阻支路电流为：

i_R=G(u_b-u_d)

其中 $G=1/R$ 。按前面的符号约定，三个节点的局部贡献可以写成：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\\i_d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&G&-G\\0&-G&G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\\u_d\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}I_s\\-I_s\\0\end{bmatrix}

这个矩阵仍然是奇异的。第一列全是 0，说明节点 $a$ 的电压不会影响任何支路电流。物理上也很好理解：理想电流源会强制给出支路电流，电流源两端电压由外部网络决定；如果节点 $a$ 没有再接到别的导纳、地或电压约束，仅靠这条“电流源 + 电阻”的局部支路，无法唯一确定 $u_a$ 。

这不是说“电流源串联电阻不能用”，而是说它需要放进完整网络里看。如果节点 $a$ 还接着其他电阻、电感伴随导纳、电容伴随导纳或电压约束，那么全局矩阵可能仍然可解；但理想电流源本身不会像电阻那样给两端节点贡献一个稳定的 $2\times2$ 导纳块。

因此，很多工程模型不会只给一个理想电流源，而是给一个电流源并联一个导纳，或者在数值上并联一个很大的电阻。比如诺顿等效、Dommel 伴随模型里的“等效导纳 + 历史电流源”，都可以看成这种形式。

工程上常把电流源并联一个大电阻，也就是一个小导纳

设并联导纳为 $G$ ，电流源仍然从 $a$ 指向 $b$ ，则支路总电流为：

i=G(u_a-u_b)+I_s

节点贡献为：

i_a=G(u_a-u_b)+I_s

i_b=G(u_b-u_a)-I_s

矩阵形式为：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G&-G\\-G&G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}I_s\\-I_s\end{bmatrix}

这个式子其实就是前面 Dommel 形式的通用外壳：

i=G_{\mathrm{eq}}u+I_{\mathrm{his}}

只不过这里把 $I_{\mathrm{his}}$ 换成了一个显式已知的 $I_s$ 。从矩阵装配角度看，二者完全同型： $G$ 进入导纳矩阵，已知电流源进入当前步的已知项。

显式电压源

显式电压源比电流源麻烦，因为理想电压源给的是电压约束，而不是支路电流。先只看一个单独的理想电压源：

理想电压源规定两端电压，但不直接给出支路电流

它告诉我们：

u_a-u_b=U_s

如果我们想像前面那样把支路整理成：

i=G(u_a-u_b)+I_{\mathrm{his}}

会立刻卡住。理想电压源没有给出 $i$ 和 $u_a-u_b$ 之间的导纳关系。它只说电压必须等于 $U_s$ ，至于为了维持这个电压需要流过多少电流，要由外部电路决定。

所以单独一个理想电压源不能直接写成普通支路的 Dommel 形式。那就回到上一篇文章的 RLC 例子：理想电压源驱动一条 RLC 串联支路。RLC 离散以后可以写成：

i=G_{\mathrm{eq}}(u_a-u_b)+I_{\mathrm{his}}

理想电压源串联 RLC 支路（未接地）

先不要急着接地。把 RLC 串联支路整体看成一个等效导纳 $G_{\mathrm{eq}}$ 和历史项 $I_{\mathrm{his}}$ 。假设电压源和 RLC 支路都接在节点 $a,b$ 之间，电压源给出：

u_a-u_b=U_s

只看 RLC 这条支路本身，矩阵表达是：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_{\mathrm{eq}}&-G_{\mathrm{eq}}\\-G_{\mathrm{eq}}&G_{\mathrm{eq}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}I_{\mathrm{his}}\\-I_{\mathrm{his}}\end{bmatrix}

这个式子看起来已经没有什么问题了：有导纳矩阵，也有已知源项，形式上非常像前面一直写的：

I=GV+I_{\mathrm{his}}

再加上电压源约束：

u_a-u_b=U_s

看起来好像也说得通：RLC 支路电流由 $u_a-u_b$ 决定，电压源又给出了 $u_a-u_b$ 。

问题出在整个网络没有参考地。如果整个网络只有这两个节点，而且没有任何一个节点被选为参考地，那么它仍然缺一个绝对电位参考。**因为电压源只规定两个节点之间的差值，它没有规定 $u_a$ 和 $u_b$ 分别相对于哪里。**两个节点电压同时加上同一个常数，支路电压、电压源约束和所有支路电流都不变。

从矩阵上也能直接看出来。上面的矩阵本质上就是：

Y=\begin{bmatrix}G_{\mathrm{eq}}&-G_{\mathrm{eq}}\\-G_{\mathrm{eq}}&G_{\mathrm{eq}}\end{bmatrix}

这个矩阵的行列式为：

\det(Y)=G_{\mathrm{eq}}^2-G_{\mathrm{eq}}^2=0

所以它不能求逆。换句话说，存在一个“共同平移”的方向，矩阵乘上去以后什么也不变：

Y\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}

这个式子不用想得太抽象。向量 $\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}^T$ 表示两个节点电压一起增加同一个量；矩阵乘出来是 0，意思就是这种共同增加不会改变任何支路电压差。于是解不唯一。例如：

u_a=100,\quad u_b=0

和：

u_a=110,\quad u_b=10

对只关心 $u_a-u_b$ 的支路来说是同一个状态。这个时候，矩阵就会出现参考电位未定的问题。

所以，真正做节点电压法时必须选一个参考地。上一篇文章里为了把实战讲清楚，采用的就是最简单的情况：电压源一端接地，另一端接节点 $a$ 。

此时：

u_b=0

电压源直接给出：

u_a=U_s

这时节点 $a$ 的电压就有了明确参考，前面那个“整体平移”的自由度被消掉了。

显式电压源的工程建模

那么，有没有办法可以让电压源也写成 $I=GV+I_{\mathrm{his}}$ 模式？工程上有一种常见处理：把电压源串联一个很小的电阻 $R_s$ ，把理想电压源变成带内阻的实际电压源。

工程上常把电压源串联一个小电阻，使支路能写成导纳形式

若按图中方向把 $U_s$ 看成从 $a$ 到 $b$ 的电压源压降，则：

u_a-u_b=U_s+R_s i

于是：

i=\frac{1}{R_s}(u_a-u_b)-\frac{U_s}{R_s}

令 $G_s=1/R_s$ ，就得到：

i=G_s(u_a-u_b)-G_sU_s

矩阵形式为：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_s&-G_s\\-G_s&G_s\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-G_sU_s\\G_sU_s\end{bmatrix}

这样它又回到了“导纳矩阵 + 已知源项”的形式。如果它再和 RLC 支路并联，总导纳就是：

G_{\mathrm{tot}}=G_{\mathrm{eq}}+G_s

对应矩阵可以写成：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_{\mathrm{tot}}&-G_{\mathrm{tot}}\\-G_{\mathrm{tot}}&G_{\mathrm{tot}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}I_{\mathrm{his}}-G_sU_s\\-I_{\mathrm{his}}+G_sU_s\end{bmatrix}

但要注意，串联 $R_s$ 解决的是“电压源支路能不能写成导纳形式”的问题，不解决“整个网络有没有参考地”的问题。如果整个网络仍然浮空，这个 $2\times2$ 矩阵依然行和为 0，仍然不可逆。接地是为了给节点电压选择参考零点，不能由 $R_s$ 代替。

代价是 $R_s$ 是人为加入的工程参数；取得太小，矩阵可能病态，取得太大，又会明显改变电路行为。

如果电压源浮接在两个非参考节点之间，又不想引入这个串联小电阻近似，就不能再强行把它当成普通导纳支路处理了。后面讨论受控电压源时，会再看到这种电压约束怎样把问题推向 MNA。

压控电流源 VCCS

有了显式电流源以后，再看压控电流源就很自然了。显式电流源的 $I_s$ 是当前步已知量；压控电流源只是把这个电流值换成了另一个节点电压差的线性函数。

受控源有输出端口，也有控制量来源

设受控电流源输出端口接在节点 $a$ 和节点 $b$ 之间，输出电流方向从 $a$ 指向 $b$ 。它受节点 $c$ 到节点 $d$ 的电压控制：

i=g_m(u_c-u_d)

其中 $g_m$ 是跨导，单位是西门子。它表示控制端电压每变化 $1\ \mathrm{V}$ ，输出端口电流变化多少安培。

这里要注意， $g_m$ 不一定是节点 $c,d$ 之间某个真实电阻的电导。节点 $c,d$ 之间的电压 $u_c-u_d$ 只是控制信号； $g_m$ 是受控源模型自己给定的比例系数。只有当后面明确写出某条真实电阻支路，例如 $i_x=G_x(u_c-u_d)$ 时，那个 $G_x$ 才表示 $c,d$ 支路的电导。

对输出端口两个节点来说：

i_a=i=g_m(u_c-u_d)

i_b=-i=-g_m(u_c-u_d)

如果把节点顺序取为 $a,b,c,d$ ，就可以写成：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\\i_c\\i_d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&g_m&-g_m\\0&0&-g_m&g_m\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\\u_c\\u_d\end{bmatrix}

这个矩阵容易让人误会，关键要分清“输出端口”和“控制端口”。

前两行说明的是输出端口：节点 $a,b$ 的流出电流由控制电压 $u_c-u_d$ 决定，所以 $i_a,i_b$ 和 $u_c,u_d$ 有关，而不是和 $u_a,u_b$ 有关。这正是受控电流源和普通电阻的区别。普通电阻的支路电流由自己两端电压决定；VCCS 的输出电流由另一个电压差决定。

后两行写成 0，并不是说这个元件和 $u_c,u_d$ 没有关系。它的意思是：理想控制端口只“读取” $u_c-u_d$ ，不从节点 $c,d$ 吸收电流。换句话说， $u_c,u_d$ 是控制信号来源， $i_c,i_d$ 不是由这只受控源注入的电流。

这个局部矩阵本身也确实是奇异的。它不能像一个完整电路那样单独拿来求逆，因为它没有给 $a,b$ 端口提供导纳约束，也没有给 $c,d$ 端口提供电流约束。节点电压法里的“元件矩阵”更准确地说是全局矩阵的一个装配贡献：程序把这些系数加到全局矩阵里，再和其他电阻、伴随导纳、接地约束、电压源约束一起求解。

所以，VCCS 仍然属于普通节点电压法能直接处理的形式。因为右边只含节点电压，没有出现新的未知电流；它的问题不是“不能装配”，而是“不能把这一只元件的局部矩阵当成完整可逆系统”。

如果控制端口和输出端口刚好是同一对节点，也就是 $c=a,d=b$ ，那么 VCCS 退化成：

i=g_m(u_a-u_b)

这时它就像一个电导值为 $g_m$ 的普通支路：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}g_m&-g_m\\-g_m&g_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}

所以 VCCS 并不神秘。只要控制量是节点电压差，它就能直接变成节点矩阵中的若干系数。

我们实战模拟一下。假设 VCCS 的输出端 $a,b$ 之间并了一个电阻 $R_o$ ，导纳为 $G_o=1/R_o$ ；控制端 $c,d$ 之间接了一个显式电压源 $U_s$ ，同时并联一个电阻 $R_x$ ，导纳为 $G_x=1/R_x$ 。这时图上看起来有两个部分：左边是输出端口，右边是控制端口，中间只有控制关系，不是一根真实导线。

VCCS 的输出端和控制端可以属于两个浮空部分

控制端电压源给出：

u_c-u_d=U_s

节点电流可以写成：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\\i_c\\i_d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_o&-G_o&g_m&-g_m\\-G_o&G_o&-g_m&g_m\\0&0&G_x&-G_x\\0&0&-G_x&G_x\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\\u_c\\u_d\end{bmatrix}

电压源约束可以写成：

\begin{bmatrix}0&0&1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\\u_c\\u_d\end{bmatrix}=U_s

这组式子已经能看出受控关系： $c,d$ 的电压差会通过 $g_m$ 影响 $a,b$ 端口电流；控制端并联的 $R_x$ 也会给 $c,d$ 两行贡献一个普通导纳块。但是如果整个网络只有这两块，仍然还没有唯一解。原因是： $c,d$ 之间的理想电压源和并联电阻都只关心 $u_c-u_d$ ，没有规定 $u_c,u_d$ 整体相对于哪里； $a,b$ 之间的电阻只规定由 $u_a-u_b$ 产生的电流，也没有规定 $a,b$ 整体相对于哪里。

所以如果 $a,b$ 和 $c,d$ 是两个互相没有导纳连接的浮空部分，最简单的处理就是各选一个参考点，例如：

u_b=0,\qquad u_d=0

这时：

u_c=U_s

若节点 $a$ 没有外部注入电流，取 $i_a=0$ ，则：

G_o u_a+g_m U_s=0

因此：

u_a=-\frac{g_m}{G_o}U_s

也就是说，受控源的“控制关系”会把 $c,d$ 的电压差带到 $a,b$ 的方程里，但它不等于一条普通导线，也不自动给每个浮空部分提供参考地。真正求解时，每个独立浮空网络都需要有参考点，或者接到一个已经有参考点的外部网络。

后面几类受控源也会遇到同样的问题。为了避免文章变得重复，后文主要讨论它们怎样进入矩阵；至于某个具体电路能不能唯一求解，仍然要回到全局网络里检查参考地、导纳路径和额外约束是否足够。

流控电流源 CCCS

流控电流源的输出电流由另一条支路电流控制。设输出端口仍然是 $a\rightarrow b$ ，输出电流为：

流控电流源用控制支路电流决定输出端口电流

i=\beta i_x

其中 $\beta$ 是电流放大系数， $i_x$ 是控制支路电流。

图中右侧的 $R_x$ 支路只是用来测量或定义控制电流 $i_x$ ，左侧菱形电流源才是输出端口。CCCS 的意思就是：输出端口流出多少电流，不直接由输出端口电压 $u_a-u_b$ 决定，而是由另一条支路里的电流 $i_x$ 决定。

这里要分两种情况。

如果控制电流 $i_x$ 本身可以由节点电压直接写出来，例如它是节点 $c$ 到节点 $d$ 之间一个电阻支路的电流：

i_x=G_x(u_c-u_d)

那么 CCCS 立刻变成：

i=\beta G_x(u_c-u_d)

这和 VCCS 完全同型，只是把 $g_m$ 换成 $\beta G_x$ ：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\\i_c\\i_d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&\beta G_x&-\beta G_x\\0&0&-\beta G_x&\beta G_x\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\\u_c\\u_d\end{bmatrix}

这时它仍然可以放进普通节点电压法。

但如果 $i_x$ 不是一个能直接由节点电压表达的量，例如它是某个理想电压源支路的电流，或者是某个需要额外未知量才能得到的内部电流，那么普通节点电压法就不够用了。程序必须把 $i_x$ 也作为额外未知量，或者从对应元件模型的内部状态里取出这个控制量。

所以 CCCS 能不能直接写进节点矩阵，关键不在“它是受控电流源”这几个字，而在控制电流 $i_x$ 是否已经能写成节点电压的线性组合。

压控电压源 VCVS

受控电压源就麻烦得多。设电压源接在节点 $a$ 和节点 $b$ 之间，输出电压受 $u_c-u_d$ 控制：

压控电压源的输出端是电压约束，控制量来自另一个电压差

u_a-u_b=\mu(u_c-u_d)

其中 $\mu$ 是电压放大倍数。

这个式子不是电流方程，而是电压约束。普通节点电压法习惯的是：

\text{节点流出电流}=\text{节点电压的线性组合}

但理想电压源不直接告诉我们支路电流是多少。为了写 KCL，必须引入这个电压源支路电流作为额外未知量。设该电流为 $i_E$ ，方向从 $a$ 到 $b$ 。

于是对节点 $a,b$ 有：

i_a=i_E

i_b=-i_E

同时还要加上电压源约束：

u_a-u_b-\mu u_c+\mu u_d=0

把未知量顺序取为：

\begin{bmatrix}u_a&u_b&u_c&u_d&i_E\end{bmatrix}^T

则这个 VCVS 对方程的贡献可以写成：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\\i_c\\i_d\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&0&-1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\1&-1&-\mu&\mu&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\\u_c\\u_d\\i_E\end{bmatrix}

最后一行不是 KCL，而是电压约束方程。也正是因为多了这一行、多了 $i_E$ 这个未知量，我们已经从普通节点电压法走向了改进节点电压法，也就是常说的 MNA，英文全称是 Modified Nodal Analysis。

这不是坏事。工程程序里处理理想电压源、受控电压源、理想变压器等元件时，本来就经常需要这种“节点电压 + 支路电流”的混合未知量。MNA 的完整组装和求解细节以后会单独讲；这里先不展开，只需要看清楚受控电压源为什么会把额外支路电流带进方程组。

流控电压源 CCVS

流控电压源的输出电压由另一个支路电流控制。设：

流控电压源的输出端是电压约束，控制量来自另一条支路电流

u_a-u_b=r_m i_x

其中 $r_m$ 是转移电阻，单位是欧姆。

如果控制电流 $i_x$ 能够写成某个电阻支路的电流：

i_x=G_x(u_c-u_d)

那么约束方程可以写成：

u_a-u_b-r_mG_x(u_c-u_d)=0

仍然引入输出电压源电流 $i_H$ ，方向从 $a$ 到 $b$ 。这里的 $i_H$ 不是外部给定的控制量，而是这个受控电压源输出端实际流过的支路电流。因为电压源本身只规定输出电压，不直接给出输出电流，所以求解器必须把这个电流也当成未知量一起求。

未知量顺序取为：

\begin{bmatrix}u_a&u_b&u_c&u_d&i_H\end{bmatrix}^T

矩阵形式为：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\\i_c\\i_d\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&0&-1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\1&-1&-r_mG_x&r_mG_x&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\\u_c\\u_d\\i_H\end{bmatrix}

如果 $i_x$ 本身不能由节点电压直接表达，那么还需要把 $i_x$ 作为额外未知量。此时约束行更像：

u_a-u_b-r_m i_x=0

这说明 CCVS 比 VCVS 又多了一层依赖：不仅输出端是电压源约束，控制量也可能要求额外变量。

小结

这一篇的核心其实很简单：受控源能不能自然进入普通节点电压法，取决于它能不能写成“节点流出电流等于节点电压的线性组合”。

压控电流源最友好：

i=g_m(u_c-u_d)

它可以直接写进节点导纳矩阵，只是矩阵通常不再对称。

流控电流源要看控制电流能不能由节点电压表示。如果：

i_x=G_x(u_c-u_d)

那么它也可以化成类似 VCCS 的形式；否则就需要额外变量或内部状态。

受控电压源则不同。它给的是电压约束：

u_a-u_b=\mu(u_c-u_d)

这类元件通常必须引入电压源支路电流作为额外未知量，于是问题自然进入 MNA。普通节点电压法不是不能继续发展，而是未知量集合已经从“只有节点电压”扩展成了“节点电压 + 某些支路电流”。

所以，从程序实现角度看，受控源不是一个单独的魔法元件。受控电流源主要是在矩阵中增加跨行列系数；受控电压源主要是在方程组中增加约束行和额外电流未知量。把这一点看清楚，后面再理解 MNA 就会顺很多。

节点电压法中 G 矩阵的性质

Tue, 30 Jun 2026 00:00:00 +0800

前面几篇文章已经把 R、L、C、RLC 串联支路和源类元件陆续写进了节点电压法。写到这里，读者很容易产生一个新的问题：程序里反复求解的那个 $G$ 矩阵，到底有什么结构？

这个问题不只是数学洁癖。电磁暂态仿真每一个时间步都要求解网络方程。如果矩阵有对称性、稀疏性、正定性，程序就可以用更省内存、更快的分解方法；如果矩阵固定不变，程序还可以在实时运行前提前把矩阵处理好。反过来，如果矩阵奇异、不对称，或者每一步都在变，求解器要付出的代价就完全不同。

这一篇先不写具体稀疏矩阵程序，只把几个最重要的性质讲清楚：对称性、正定性、奇异性，以及它们在 EMT 计算里的工程意义。

先看几种会在节点电压法里反复遇到的矩阵形状。这里先不急着给它们下结论，因为单个支路的局部矩阵和完整网络的全局矩阵不是一回事。局部矩阵可能对称，也可能不对称；它还常常是奇异的。真正能不能求解，要看它被装配进什么样的完整网络。

第一种形状来自普通无源支路。把上一篇文章里的 RLC 串联支路拿回来，先不接任何电压源，只看这条支路本身。梯形离散以后，它可以整体看成一个等效导纳 $G_{\mathrm{eq}}$ 和一个历史项 $I_{\mathrm{his}}$ ：

无源 RLC 串联支路本身会贡献上下镜像的导纳项

只看 RLC 这条支路对节点 $a,b$ 的贡献，它进入节点方程时会出现这种上下镜像的小矩阵：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_{\mathrm{eq}}&-G_{\mathrm{eq}}\\-G_{\mathrm{eq}}&G_{\mathrm{eq}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}I_{\mathrm{his}}\\-I_{\mathrm{his}}\end{bmatrix}

这里的“无源”说的是物理支路仍然只是 R、L、C； $I_{\mathrm{his}}$ 是离散递推带来的历史项，它进右端向量，不是外部电压源或外部电流源。

但这类上下镜像的小矩阵还有另一个特点：只看它自己，往往也是奇异的。最简单的电阻支路就是这样。如果整个网络只有节点 $a,b$ ，而且没有任何一个节点接参考地，那么矩阵是：

浮地电阻支路只规定电压差，不规定整体参考电位

Y_{\mathrm{float}}=\begin{bmatrix}G&-G\\-G&G\end{bmatrix}

它看起来很正常，也仍然是对称的，但它的两行相加为零：

\begin{bmatrix}G&-G\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-G&G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\end{bmatrix}

所以：

\det(Y_{\mathrm{float}})=0

这时矩阵奇异。问题不是电阻错了，而是网络缺少参考点： $u_a=100,u_b=0$ 和 $u_a=110,u_b=10$ 对这条支路来说压差一样，支路电流也一样。

所以这个例子想观察的不是“一个无源局部块已经能单独求解”，而是两件事：它会给全局 $G$ 矩阵贡献一种对称结构；如果完整网络没有参考点，这种结构也可能留下整体电位平移的自由度。

第二种形状来自受控源。上一篇讲过压控电流源 VCCS。它的输出端接在节点 $a,b$ 之间，控制量来自节点 $c,d$ 的电压差：

受控源的输出端口和控制端口不一定是同一组节点

i=g_m(u_c-u_d)

它对矩阵的局部贡献可以写成：

Y_{\mathrm{vccs}}=\begin{bmatrix}0&0&g_m&-g_m\\0&0&-g_m&g_m\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}

这个局部矩阵看起来更别扭：例如 $a,c$ 位置有 $g_m$ ，但 $c,a$ 位置是 $0$ 。同时它有大量零行、零列，单独拿出来当然也不能代表一个完整可解网络。这里想观察的是另一件事：受控源会把“输出端”和“控制端”交叉耦合起来，使局部导纳贡献一般不再满足转置对称性。

从一个支路的装配开始

先回到最熟悉的无源电阻支路。设电阻接在节点 $a$ 和节点 $b$ 之间，电流参考方向从 $a$ 到 $b$ ，支路电流为：

i=G(u_a-u_b)

按“流出节点为正”的约定，对两个端点写成矩阵就是：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G&-G\\-G&G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}

这个小矩阵就是支路对全局 $G$ 矩阵的局部贡献。装配时，程序只是把这四个数加到全局矩阵中节点 $a,b$ 对应的位置：

G_{aa}\leftarrow G_{aa}+G,\quad G_{ab}\leftarrow G_{ab}-G,\quad G_{ba}\leftarrow G_{ba}-G,\quad G_{bb}\leftarrow G_{bb}+G

电感、电容经过 Dommel 形式离散以后，只要当前步能写成：

i=G_{\mathrm{eq}}(u_a-u_b)+I_{\mathrm{his}}

它们进入矩阵的方式也是同一个结构。区别只是 $G$ 变成 $G_{\mathrm{eq}}$ ，历史项 $I_{\mathrm{his}}$ 进入右端向量，而不是进入 $G$ 矩阵。

为什么无源网络通常是对称的

无源 R、L、C 支路离散后，每条支路给出的局部矩阵都是：

\begin{bmatrix}G&-G\\-G&G\end{bmatrix}

它天然满足转置不变：

Y_{\mathrm{branch}}=Y_{\mathrm{branch}}^T

很多这样的对称小矩阵装配到一起，全局矩阵仍然对称。所以，对只含线性无源支路的网络，节点导纳矩阵通常是对称的。

这里还会遇到一个词：互易性。粗略地说，互易就是把激励位置和响应位置互换以后，传递关系不变。用导纳矩阵写，就是节点 $m$ 的电压对节点 $n$ 电流的影响，和节点 $n$ 的电压对节点 $m$ 电流的影响是成对相等的：

Y_{mn}=Y_{nm}

推广到整个矩阵，就是：

Y=Y^T

普通 R、L、C 无源网络通常具有这种互易性，所以它们装配出来的导纳矩阵容易是对称的。理想变压器这类元件本身也可以是互易的，但它往往不是一个简单的“导纳支路”，而是电压、电流约束关系，实际求解时常常要进入 MNA；这会让矩阵形式变得更复杂，不再是单纯的普通节点导纳矩阵。

这个对称性可以从两个角度理解。

第一个角度是 KCL 和支路电流关系。支路电流只由两端电压差决定：从 $a$ 看出去是 $G(u_a-u_b)$ ，从 $b$ 看出去就是 $G(u_b-u_a)$ 。同一条支路对两个端点的影响大小相等、符号相反，于是矩阵中 $a,b$ 两个位置会成对出现 $-G$ 。

第二个角度是功率或能量。对一个电阻支路，瞬时耗散功率为：

p=G(u_a-u_b)^2

这是一个平方项，不会因为把节点 $a,b$ 的名字交换一下就改变。对整个无源网络，所有支路贡献加起来可以写成类似：

u^TGu=\sum_{\ell}G_\ell(u_m-u_n)^2

这里 $\ell$ 表示第 $\ell$ 条支路， $m,n$ 是这条支路的两个端点。这个式子告诉我们：无源导纳矩阵的二次型来自各条支路电压差的平方和。它反映的是耗散或离散后的等效储能关系，因此自然带有很强的对称结构。

所以，说“无源网络的 $G$ 矩阵对称”时，不必把原因只归结成一句“能量守恒”。更准确地说：无源、互易、只由两端电压差决定的支路，在 KCL 装配时会给出成对的对称贡献；从功率二次型看，这种贡献又对应电压差平方项。

正定和半正定

对称不等于正定。一个矩阵对称，只说明：

G=G^T

正定讨论的是：

u^TGu>0

是否对所有非零向量 $u$ 都成立。

对无源电阻网络或 Dommel 等效导纳网络来说，通常可以得到：

u^TGu=\sum_{\ell}G_\ell(u_m-u_n)^2\ge 0

因此它至少有半正定的味道。只要所有 $G_\ell$ 都是正数，任何支路电压差都会贡献非负项。

但“非负”还不是“正”。如果整个网络完全浮起来，没有任何参考地，那么所有节点电压一起加上同一个常数，所有支路电压差都不变：

u_m-u_n\quad\text{不变}

于是 $u^TGu$ 也不变。更具体地说，对一个只靠支路互相连接、没有参考点的网络，向量：

\mathbf{1}=\begin{bmatrix}1&1&\cdots&1\end{bmatrix}^T

通常会落在零空间里：

G\mathbf{1}=0

这时矩阵不是正定，而是半正定，并且是奇异的。

真正让矩阵变成正定的，往往不是“无源”本身，而是参考点和网络连通性。选定参考地以后，如果每个待求节点都通过某些导纳路径和参考点连通，那么非零节点电压通常会造成至少一条支路电压差不为零，于是：

u^TGu>0

这时 $G$ 才更接近我们在线性代数里喜欢的对称正定矩阵。

奇异性从哪里来

奇异的意思很直接：矩阵不能唯一求解。数学上可以看行列式：

\det(G)=0

工程上更常见的感觉是：节点电压没有唯一参考，或者某些节点没有被足够的方程约束住。

最典型的例子就是上一篇反复提到的浮地网络。两个节点之间只有一个电阻：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G&-G\\-G&G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}

这个矩阵的两行相加为零：

\begin{bmatrix}G&-G\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-G&G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\end{bmatrix}

所以它的秩不满。只要 $u_a-u_b$ 相同，支路状态就相同。例如：

u_a=100,\quad u_b=0

和：

u_a=110,\quad u_b=10

对这个电阻支路来说没有区别。差值都是 $100$ ，电流也一样。问题是节点电压法要求的是每个节点相对于参考地的电压，而不是只求支路压差。因此没有参考点时，矩阵会留下一个“整体平移”的自由度。

除了浮地，奇异还可能来自：

孤立节点或孤立子网络没有接到参考点。
只有理想电流源，没有并联导纳或其他约束路径。
理想电压源、受控电压源等约束没有用 MNA 正确引入额外未知量。
开关断开后，网络被切成了多个没有参考的电气孤岛。

这些情况本质上都在说同一件事：矩阵里某些自由度没有被方程真正钉住。

对称矩阵为什么对 EMT 有用

在 EMT 程序里，每一个时间步常见的线性方程形如：

G u = b

这里 $u$ 是当前步节点电压， $b$ 是右端向量，里面包含电流源、历史项和外部注入。

如果 $G$ 是对称的，程序在存储和求解时都能占便宜。最直观的好处是：矩阵上下三角互为镜像，理论上只需要存储一半的非零结构。更重要的是，对称正定矩阵可以使用 Cholesky 这类分解；对称但不正定的 MNA 矩阵，也可以使用适合对称不定矩阵的分解方法。

这里要注意一个说法：工程程序一般不会真的先求出 $G^{-1}$ ，再每一步做：

u=G^{-1}b

显式求逆通常又慢又不稳定。更常见的做法是对 $G$ 做分解，例如：

G=LL^T

或者其他适合稀疏矩阵的分解形式。分解以后，每个时间步只需要更新右端 $b$ ，再做前代、回代求出 $u$ 。

这就是为什么 EMT 程序非常喜欢固定步长和固定拓扑。以 Dommel 形式为例，电感和电容的等效导纳分别含有时间步长 $T$ ：

G_L=\frac{T}{2L},\qquad G_C=\frac{2C}{T}

如果 $T$ 不变，元件参数不变，开关拓扑也不变，那么全局 $G$ 矩阵就不变。实时运行前，程序可以先完成：

节点编号。
矩阵非零结构分析。
$G$ 矩阵装配。
矩阵分解。

实时运行时，每一拍主要做：

更新历史项和源注入。
组装右端向量 $b$ 。
用已经分解好的矩阵求解节点电压。
回算支路电流和新的历史项。

这对实时仿真尤其关键。因为实时程序最怕每一步都重新分析矩阵结构、重新分解矩阵，那会让计算耗时变得不可控。

什么时候 G 不再对称

上一篇讲受控源时已经看到一个典型情况：压控电流源 VCCS 的输出端在 $a,b$ ，控制量却来自 $c,d$ 。例如：

i=g_m(u_c-u_d)

它对节点 $a,b$ 的 KCL 有贡献，但这个贡献写在 $c,d$ 对应的列上。装配时，矩阵里会出现类似这样的局部贡献：

\begin{bmatrix}0&0&g_m&-g_m\\0&0&-g_m&g_m\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}

这类局部贡献会把全局矩阵推向非对称。原因也很清楚：输出端和控制端不是同一对节点。控制电压影响输出电流，但输出节点电压不一定反过来以同样方式影响控制端电流。这是非互易关系，不再是普通无源两端支路那种“你影响我，我也以同样大小影响你”的结构。

除了受控源，下面这些情况也可能让矩阵性质变复杂：

理想电压源、受控电压源、理想变压器等需要 MNA，引入额外支路电流未知量。
电力电子开关改变拓扑，使矩阵结构随时间变化。
非线性元件在线性化后，等效导纳随工作点变化。
变步长积分会让电感、电容的 $G_{\mathrm{eq}}$ 随时间步变化。
某些数值稳定化、小电阻、小电导处理会改变矩阵条件数。

所以“无源网络对称”是一个很有用的基础直觉，但不能把它当成所有电路矩阵的默认真理。

小结

这一篇真正想整理的是几个容易混在一起的词：

对称：矩阵满足 $G=G^T$ 。无源、互易、线性支路通常给出对称装配。
半正定： $u^TGu\ge 0$ 。无源支路的电压差平方和通常具有这个性质。
正定：对所有非零 $u$ 都有 $u^TGu>0$ 。这通常还需要参考点和足够的导纳连通性。
奇异：矩阵不能给出唯一解。常见原因是浮地、孤岛、缺少约束或理想源处理不完整。
固定矩阵：如果步长、拓扑和参数不变， $G$ 可以提前装配和分解，实时计算时主要更新右端向量。
非对称矩阵：受控源和非互易关系会让输出端与控制端交叉耦合，从而破坏普通无源网络的对称结构。

从 EMT 的角度看，理解这些性质不是为了炫耀线性代数，而是为了知道程序为什么要选参考地，为什么要避免奇异网络，为什么喜欢固定步长，为什么开关和受控源会让求解器更麻烦。矩阵不是凭空冒出来的，它只是把每条支路的物理关系，按节点电压法装配到了一起。

梯形积分为什么会数值震荡

Wed, 17 Jun 2026 00:00:00 +0800

前面几篇文章一直在给梯形积分铺路：从 $1/s$ 积分算子，到 $s$ 到 $z$ 离散，再到电感、电容的 Dommel 伴随模型。梯形积分确实很好用，它有二阶精度，对线性电路也非常适合整理成“等效导纳 + 历史源”的形式。

但工程里还有另一句话：梯形法容易在开关突变后出现数值震荡。

这句话听起来有点矛盾。梯形法不是稳定性很好吗？为什么又会震荡？这一篇就专门拆这个问题。

梯形法好在哪里

先看最普通的积分问题：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=f(t,y)

梯形法写成：

y_k=y_{k-1}+\frac{T}{2}(f_k+f_{k-1})

其中 $T$ 是仿真步长。它的直觉很简单：一步内的积分面积不用左端点，也不用右端点，而是用两端平均值形成的梯形面积。

对平滑波形来说，这个做法很漂亮：

精度比一阶欧拉高；
对很多线性系统稳定性很好；
在电磁暂态仿真中，电感、电容可以自然整理成 Dommel 形式。

问题恰恰也藏在这里：梯形法太“公平”了，它把上一步和当前步各取一半。对平滑波形，这是优点；对开关突变后的高频误差，它就可能缺少足够的数值阻尼。

数值震荡从哪里来

考虑一个最简单的衰减方程：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-ay

其中 $a>0$ 。精确解会单调衰减：

y(t)=y(0)e^{-at}

对它使用梯形法：

y_k=y_{k-1}+\frac{T}{2}(-ay_k-ay_{k-1})

整理得到：

y_k=\frac{1-\frac{aT}{2}}{1+\frac{aT}{2}}y_{k-1}

令 $q=aT$ ，放大因子为：

A_{\mathrm{trap}}=\frac{1-\frac{q}{2}}{1+\frac{q}{2}}

如果 $q$ 很小， $A_{\mathrm{trap}}$ 是一个接近 1 的正数，数值解平滑衰减。

但如果 $q>2$ ，分子变成负数， $A_{\mathrm{trap}}$ 也变成负数。于是 $y_k$ 会一步正、一步负地交替变化。更极端地，当 $q$ 非常大时：

A_{\mathrm{trap}}\rightarrow -1

这就意味着：真实系统可能已经在一个步长内衰减得几乎没有了，但梯形离散结果却可能留下一个接近 $(-1)^k$ 的交替分量。

这就是很多电磁暂态仿真里说的 numerical oscillation、numerical chatter，或者中文里常说的数值震荡。

频率和步长有什么关系

一步正、一步负的序列可以写成：

1,-1,1,-1,\cdots

也就是：

(-1)^k

在离散系统里，这对应每两个采样点完成一个周期。若步长为 $T$ ，震荡周期就是：

T_{\mathrm{osc}}=2T

对应频率为：

f_{\mathrm{osc}}=\frac{1}{2T}

这正是采样系统里的 Nyquist 频率。也就是说，梯形法在开关突变后最容易留下来的那种交替震荡，往往是离散系统能表示的最高频附近的数值分量。

这里容易说错。不能说“震荡频率是步长的 2 倍频”。更准确的说法是：这个交替分量两拍完成一个周期，周期为 $2T$ ，频率为 $1/(2T)$ 。如果把采样频率记为 $f_s=1/T$ ，那么：

f_{\mathrm{osc}}=\frac{f_s}{2}

也就是采样频率的一半，而不是 $2/T$ 。

所以步长越小，这个震荡频率越高：

$T=50\,\mu s$ 时，交替震荡频率约为 $10\,kHz$ ；
$T=10\,\mu s$ 时，交替震荡频率约为 $50\,kHz$ 。

但要注意，减小步长并不等于自动消除震荡。只要开关突变使局部时间常数仍然远小于步长，梯形法仍然可能把高频误差留在计算结果里。

一个开关突变的 RC 例子

现在看一个很小的电路例子。电容初始电压为 $1\,V$ 。在 $t_s$ 之前，开关断开，电容电压保持不变；在 $t_s$ 之后，开关闭合，电容通过一个很小的电阻放电。

闭合后的方程是：

\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{RC}u_C

令时间常数：

\tau=RC

如果仿真步长 $T=50\,\mu s$ ，而开关闭合后的 $\tau=2\,\mu s$ ，则：

q=\frac{T}{\tau}=25

这时梯形法的放大因子为：

A_{\mathrm{trap}}=\frac{1-\frac{25}{2}}{1+\frac{25}{2}}\approx -0.852

也就是说，电容电压每一步都会翻符号，并且幅值只慢慢衰减。这不是物理振荡，而是数值离散造成的交替分量。

下面这段 Python 代码复现了这个现象，同时给出后向欧拉的结果：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

T = 50e-6
t_end = 2.5e-3
t_switch = 0.5e-3
tau_closed = 2e-6

t = np.arange(0.0, t_end + T, T)
v_trap = np.ones_like(t)
v_be = np.ones_like(t)

q = T / tau_closed
a_trap = (1.0 - q / 2.0) / (1.0 + q / 2.0)
a_be = 1.0 / (1.0 + q)

for k in range(1, len(t)):
 if t[k] >= t_switch:
 v_trap[k] = a_trap * v_trap[k - 1]
 v_be[k] = a_be * v_be[k - 1]
 else:
 v_trap[k] = v_trap[k - 1]
 v_be[k] = v_be[k - 1]

plt.plot(t * 1e3, v_trap, "o-", label="Trapezoidal")
plt.plot(t * 1e3, v_be, "s-", label="Backward Euler")
plt.axvline(t_switch * 1e3, color="k", linestyle="--", linewidth=1)
plt.xlabel("Time / ms")
plt.ylabel("Capacitor voltage / V")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

开关突变后梯形法与后向欧拉的响应对比

图里可以看到：开关闭合后，后向欧拉很快把电压压到接近 0；梯形法却留下了明显的一步正、一步负交替震荡。

这个例子故意选了比较极端的参数，是为了把现象放大。真实电磁暂态程序里，开关、二极管、电力电子器件、避雷器、理想电感电容组合，都可能制造类似的局部突变。

这里还可以顺手澄清一个问题：并不是只有状态突变时，梯形法才“拥有”数值震荡模式。更准确地说，梯形法本来就缺少对最高频数值分量的阻尼；只是平滑运行时，这类高频误差很小，不容易被看见。开关突变、拓扑突变或参数突变会突然改变微分方程的局部形态，制造很强的高频误差，其中就可能包含接近 $(-1)^k$ 的交替分量。梯形法又刚好不太衰减这个分量，于是它就残留下来，表现为一步正、一步负的数值震荡。

所以，突变事件不是数值震荡模式存在的唯一原因，而是最容易把这个模式激发出来的“敲击”。

从初值不协调看数值震荡

还有一种常见解释，是从“初值不协调”或者“历史项不协调”的角度看这个问题。

开关动作前后，电路方程往往不是同一个方程。开关断开时，电容可能几乎没有放电通路；开关闭合后，电容突然接上一个很小的电阻，新的局部时间常数可能非常小。物理上，电容电压不能突变，电感电流也不能突变：

u_C^+=u_C^-

i_L^+=i_L^-

但是，电路的代数约束、支路电流、导数关系已经变了。也就是说，状态量本身连续，不代表它们和新拓扑下的导数、支路电流、历史项立刻协调。

梯形法尤其容易暴露这个问题，因为它不是只看当前点，而是把上一拍和当前拍平均起来：

y_k=y_{k-1}+\frac{T}{2}(f_k+f_{k-1})

这里的 $f_{k-1}$ 来自开关前的旧电路，而 $f_k$ 来自开关后的新电路。如果开关瞬间直接沿用旧历史项，就相当于让积分器拿着旧电路的记忆去接新电路的方程。这个交接处只要留下一个小误差，就可能被梯形法的交替模态接住。

仍然看测试方程：

y'=-ay

梯形法的误差递推因子为：

A_{\mathrm{trap}}=\frac{1-\frac{aT}{2}}{1+\frac{aT}{2}}

如果开关后的局部时间常数很小，也就是 $aT$ 很大，则：

A_{\mathrm{trap}}\approx -1

于是初值或历史项中残留的不协调误差会近似满足：

e_k\approx -e_{k-1}

这就是一拍正、一拍负的数值震荡。换句话说，开关突变并不是凭空制造了一个新的物理振荡，而是让离散初值没有完全落在新系统的正确解轨道上；梯形法又缺少对这个寄生交替模态的阻尼，于是它被保留下来。

从这个角度看，数值震荡可以理解为：切换瞬间的状态和历史项没有与新拓扑重新协调，激发了梯形法的寄生模态。 这和前面的频率解释并不矛盾。频率解释说它表现为接近 Nyquist 频率的交替分量；初值解释说这个交替分量是怎样在切换瞬间被激发出来的。

后向欧拉为什么更稳

同样对：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-ay

使用后向欧拉：

y_k=y_{k-1}+T(-ay_k)

整理得：

y_k=\frac{1}{1+aT}y_{k-1}

也就是：

A_{\mathrm{BE}}=\frac{1}{1+q}

无论 $q$ 多大， $A_{\mathrm{BE}}$ 都是正数，而且 $q$ 越大， $A_{\mathrm{BE}}$ 越接近 0。对于突变后的刚性衰减过程，后向欧拉会表现出很强的数值阻尼。

这也是为什么一些 EMTP 类程序会在检测到开关不连续或数值震荡时，临时使用后向欧拉、CDA（Critical Damping Adjustment，临界阻尼调整）或类似策略，然后再切回梯形法。

当然，后向欧拉不是白捡的好处。它只有一阶精度，数值阻尼也可能把真实的高频暂态一起抹掉。所以它更像是一块“刹车片”，而不是所有场景下的最佳积分器。

积分因子：0.5 还是 1

现在问题来了：既然梯形法精度好但阻尼弱，后向欧拉阻尼强但精度低，那有没有中间方案？

有。这就是常说的 theta method，或者 $\theta$ 积分。

把积分公式写成统一形式：

y_k=y_{k-1}+T\left[(1-\theta)f_{k-1}+\theta f_k\right]

当：

$\theta=0$ ：显式欧拉；
$\theta=0.5$ ：梯形法；
$\theta=1$ ：后向欧拉；
$0.5<\theta<1$ ：带数值阻尼的隐式积分。

对测试方程 $y'=-ay$ ，它的放大因子为：

A_{\theta}=\frac{1-(1-\theta)q}{1+\theta q}

当 $q$ 很大时：

A_{\theta}\rightarrow -\frac{1-\theta}{\theta}

这个式子很有意思：

$\theta=0.5$ 时，高频极限是 $-1$ ，几乎没有高频阻尼；
$\theta=1$ 时，高频极限是 $0$ ，高频分量被强烈压掉；
$0.5<\theta<1$ 时，高频分量会被不同程度地阻尼。

不同 theta 下放大因子随 T/tau 的变化

所以，“积分因子到底取 0.5 还是 1”并不是一个纯数学洁癖问题，而是一个工程权衡：

想保留二阶精度和较小数值阻尼，就靠近 $0.5$ ；
想抑制开关突变后的高频 chatter，就靠近 $1$ ；
想折中，就选 $0.5$ 和 $1$ 之间的某个值。

阻尼积分、可调积分、alpha/Beta 积分

在不同资料和软件里，这类思想会有不同名字：

theta method；
generalized trapezoidal method；
阻尼积分；
可调积分；
alpha 积分或 alpha-beta 积分。

名字不完全一样，但背后的思路很接近：不要把积分面积永远固定成左右各一半，而是允许当前端点占更多权重，从而给高频数值分量加一点阻尼。

如果沿用上面的 $\theta$ 写法，梯形法就是 $\theta=0.5$ ，后向欧拉就是 $\theta=1$ 。阻尼积分可以理解为：

0.5<\theta<1

有些工程书或程序会使用 $\alpha$ 、 $\beta$ 来描述类似的权重。读到这些名字时，不要先被术语吓住，先去看它到底把 $f_{k-1}$ 和 $f_k$ 的权重怎么分配。只要看清权重，就能判断它更接近梯形法，还是更接近后向欧拉。

工程上怎么理解

这篇文章不是要否定梯形法。恰恰相反，梯形法在电磁暂态仿真中非常重要。它的问题不是“普通情况下不稳定”，而是：

开关动作会制造不连续；
不连续会激发很高频的数值分量；
梯形法对最高频附近的分量阻尼很弱；
于是可能出现一步正、一步负的数值震荡；
后向欧拉或阻尼积分可以压制这类分量，但会牺牲一部分精度或真实高频响应。

所以，积分方法不是越高阶越好，也不是阻尼越强越好。真正的工程问题是：当前仿真更怕什么？

如果更怕相位误差和过度阻尼，梯形法很合适。
如果更怕开关突变后的 chatter，后向欧拉、CDA、theta 积分或可调积分就值得考虑。
如果系统里有大量电力电子开关，光靠固定步长梯形法往往不够，还需要开关时刻插值、事件定位、状态重初始化等配套策略。

三相 PI 电路数学模型

Mon, 01 Dec 2025 00:00:00 +0800

考虑正负零序的、对称情况的三相pi电路的电磁暂态模型

下图是一个典型的三相PI电路，两端节点分别用K，M表示，接地点G，RLC分别有自感、互感。

三相PI电路

在工程线路里，一般测量正序、零序是电力系统标准（IEEE、IEC）的方式。所以需要构造基于正序、零序的模型架构。（仅从仿真/数值计算角度，构造abc矩阵是比较直观的，但是工程上很多参数其实不能直接显式获得，所以建模的时候也需要考虑实际工程情况。）

正负零序到abc的转换

先不考虑C支路，对于三相对称RL支路，有：

\mathbf{v}_{abc}=\mathbf{R}_{abc}\mathbf{i}_{abc}+\mathbf{L}_{abc}\frac{d\mathbf{i}_{abc}}{dt}

取s /m = self / mutual（自感，互感），则对称线路意味着：

\begin{gathered}\mathbf{R}_{abc}=\quad\begin{bmatrix}R_s&R_m&R_m\\R_m&R_s&R_m\\R_m&R_m&R_s\end{bmatrix}\\\mathbf{L}_{abc}=\quad\begin{bmatrix}L_s&L_m&L_m\\L_m&L_s&L_m\\L_m&L_m&L_s\end{bmatrix}\end{gathered}

接下来构造正负序变换：

正序（1）：A相领先B相120度，B相领先C相120度，C相领先A相120度。
负序（2）：A相落后B相120度，B相落后C相120度，C相落后A相120度。
零序（0）：A、B、C三相相位相同，哪一相也不领先，也不落后。

对正负零序不熟悉的可以参考正序、负序、零序详解

那么从数学角度，我们需要构造一组基底向量(类似park/clark变换)，三序正交，相互独立，投影为0，假设旋转因子 $a$ :

a=e^{j120°}=cos\theta+jsin\theta=-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}

与 $a$ 相乘即在极坐标下逆时针旋转120°。那么，根据正负零序的定义，我们可以构造转换矩阵：

\begin{gathered}\mathbf{S}=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&a^{2}&a\\1&a&a^{2}\end{bmatrix},\mathbf{S}^{-1}=\frac{1}{3}*\begin{bmatrix}1&1&1\\1&a&a^{2}\\1&a^{2}&a\end{bmatrix} \\\mathbf{x}_{abc}=\mathbf{S}*\mathbf{x}_{012} \\\mathbf{x}_{012}=\mathbf{S}^{-1}*\mathbf{x}_{abc} \\\mathbf{x}_{012}=\begin{bmatrix}x_{0}\\x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}\end{gathered}

这里注意， $\mathbf{x}$ 代表向量，因此必须是 $V$ , $I$ ，不要误解为 $RLGC$ 。注意这里 $a$ 天然满足 $\begin{aligned}&a^3=1\\&1+a+a^2=0\end{aligned}$ , 这个在后边展开 $\mathbf{S}$ 和 $\mathbf{S^{-1}}$ 很有用，而不需要代入三角函数展开计算。

接下来对 $(1)$ 进行变换：

\begin{gathered}\mathbf{S}*\mathbf{v}_{012}=\mathbf{R}_{abc}*\mathbf{S}*\mathbf{i}_{012}+\mathbf{L}_{abc}*\mathbf{S}*\frac{d\mathbf{i}_{012}}{dt}\\\mathbf{v}_{012}=\mathbf{S}^{-1}*\mathbf{R}_{abc}*\mathbf{S}*\mathbf{i}_{012}+\mathbf{S}^{-1}*\mathbf{L}_{abc}*\mathbf{S}*\frac{d\mathbf{i}_{012}}{dt}\end{gathered}

于是可以得到标量 $RLGC$ 的正负零序形式（和向量 $\mathbf{x}$ 的形式已经有点不一样了）：

\begin{gathered}\mathbf{RLGC}_{012}=\mathbf{S}^{-1}*\mathbf{RLGC}_{abc}*\mathbf{S}\\\mathbf{RLGC}_{abc}=\mathbf{S}*\mathbf{RLGC}_{012}*\mathbf{S}^{-1}\end{gathered}

到这里理论上已经结束了，但是从数值计算角度，我们需要知道s/m和零负正序的关系，需要进一步化简，这里以 $\mathbf{G}$ 为例，先算 $\mathbf{S}*\mathbf{G}$ ：

\mathbf{S}*\mathbf{G}_{012}=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&a^2&a\\1&a&a^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}G_0&0&0\\0&G_1&0\\0&0&G_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_0&G_1&G_1\\G_0&a^2G_1&aG_1\\G_0&aG_1&a^2G_1\end{bmatrix}

这里因为是对称的，所以负序就是正序， $G_1=G_2$ 。再算 $\mathbf{S}*\mathbf{G}*\mathbf{S}^{-1}$ ， $\mathbf{S}$ 第一列 $\frac{1}{3}[1,1,1]^{T}$ :

G_s=\frac{1}{3}(G_0\cdot1+G_1\cdot1+G_1\cdot1)=\frac{1}{3}(G_0+2G_1)

这里终于得到了自导纳和正负零序的关系，可以看到是非常简洁的，接下来是互导纳, 取 $\mathbf{S}$ 第二列 $\frac{1}{3}[1,a,a^2]^T$ ：

G_m=\frac{1}{3}(G_0\cdot1+G_1\cdot a+G_1\cdot a^2)=\frac{1}{3}(G_0+G_1(a+a^2))

显然 $a+a^2=-1$ ，所以得到互导纳的形式：

G_{m}=\frac{1}{3}(G_{0}-G_{1})

$RLGC$ 都是满足上述形式，因此在工程上测量得到的正负零序阻抗，可以转换成我们需要的 $RLGC_{012}$ ，再通过上述推导得到abc三相的导纳矩阵，即可通过节点电压求解。

数学模型推导

单看一端，这里有两个支路，一个是 $RL$ 支路，一个是 $C$ shunt支路，接下来先开始对 $RL$ 支路列举节点电压方程：

\mathbf{I}_{KM}(t)=\mathbf{G}_{RL}*(\mathbf{V}_{K}(t)-\mathbf{V}_{M}(t))+\mathbf{I}_{\mathrm{history}}(t)

\mathbf{I}_{KM}(t)=\begin{bmatrix}I_{a,KM}(t)\\I_{b,KM}(t)\\I_{c,KM}(t)\end{bmatrix},\mathbf{V}_K(t)=\begin{bmatrix}V_{a,K}(t)\\V_{b,K}(t)\\V_{c,K}(t)\end{bmatrix},\mathbf{V}_M(t)=\begin{bmatrix}V_{a,M}(t)\\V_{b,M}(t)\\V_{c,M}(t)\end{bmatrix},\mathbf{I}_{\mathrm{history}}(t)=\begin{bmatrix}I_{a,h}(t)\\I_{b,h}(t)\\I_{c,h}(t)\end{bmatrix}

展开成abc标量形式：

\begin{gathered}I_{a,KM}(t)=G_s\left(V_{a,K}(t)-V_{a,M}(t)\right)+G_m\left(V_{b,K}(t)-V_{b,M}(t)\right)+G_m\left(V_{c,K}(t)-V_{c,M}(t)\right)+I_{a,h}(t)\\I_{b,KM}(t)=G_m\left(V_{a,K}(t)-V_{a,M}(t)\right)+G_s\left(V_{b,K}(t)-V_{b,M}(t)\right)+G_m\left(V_{c,K}(t)-V_{c,M}(t)\right)+I_{b,h}(t)\\I_{c,KM}(t)=G_m\left(V_{a,K}(t)-V_{a,M}(t)\right)+G_m\left(V_{b,K}(t)-V_{b,M}(t)\right)+G_s\left(V_{c,K}(t)-V_{c,M}(t)\right)+I_{c,h}(t)\end{gathered}

再利用Dommel算法求解即可，其实就是RL支路，没有特殊的地方，多了一步零负序转换和自导纳、互导纳而已。对于 $C$ shunt支路，也很容易得到：

\mathbf{I}_{KG}(t)=\mathbf{G}_{C}*\mathbf{V}_{K}(t)+\mathbf{I}_{\mathrm{history}}(t)

\mathbf{I}_{MG}(t)=\mathbf{G}_{C}*\mathbf{V}_{M}(t)+\mathbf{I}_{\mathrm{history}}(t)

注意这里的 $C$ ，一般的 $\pi$ 电路两端各取一半，所以计算的时候使用 $\frac{C}{2}$ 。计算完毕后，最后汇总两个支路的注入历史电流即可：

I_{\mathrm{inj}}^{K}(t)=I_{history}^{KM}(t)+I_{history}^{KG}(t)

I_{\mathrm{inj}}^{M}(t)=-I_{history}^{KM}(t)+I_{history}^{MG}(t)