源类元件如何进入节点电压法

上一篇文章把普通支路接进了节点电压法。电阻支路可以写成：

电感、电容和 RLC 串联支路离散以后，也可以整理成：

所以它们进入节点矩阵时，结构都很像：

源类元件会让事情多一层。前面 R、L、C 支路的电流主要由自己两端的电压和历史状态决定；而电流源、电压源和受控源，还会引入一个“源量”。

这个源量有两种常见来源。一种是外部显式给定的信号，例如一个工频正弦电流、工频正弦电压、控制器输出的 PWM 占空比，或者某个仿真模块传进来的参考量；这种情况下，源量在当前步开始前通常已经是已知量。另一种是来自电路内部，例如另两个节点之间的电压，或者某条支路的电流；这种情况下，源量可能和当前待求的节点电压、支路电流耦合在一起。

所以本文先从最普通的显式电流源、显式电压源讲起，再看它们推广成受控源以后，怎样写进节点电压法的矩阵。

本文仍然沿用上一篇文章的约定：

• 节点电压写作$u_a,u_b,u_c,u_d$。
• 输出支路方向从节点$a$指向节点$b$。
• 对节点写方程时，从该节点流出的支路电流记为正。
• 控制电压写作$u_{cd}=u_c-u_d$。

显式电流源

先看最普通的独立电流源。设电流源接在节点$a$和节点$b$之间，电流方向从$a$指向$b$，当前步电流值为已知量$I_s$：

按“流出节点为正”的约定，对两个端点有：

写成矩阵形式就是：

这个式子很直观：理想电流源不提供导纳，所以左边的矩阵是零矩阵；它只给当前步节点方程贡献一个已知电流向量。

显式电流源的工程建模

工程软件里，理想电流源经常不会孤零零地放进网络。很多模型会给电流源并联一个很大的电阻，也就是并联一个很小的导纳。这样做不是为了改变电流源的主要物理作用，而是为了让这个端口在节点矩阵里多少有一点导纳约束。

为什么要这样做？先看一个“不并联”的例子。只给一个理想电流源时，支路本身不提供导纳约束。即使这个电流源再串联一个电阻，只要从节点矩阵角度把中间节点也列出来，局部矩阵仍然可能是奇异的。

看下面这个例子。显式电流源从节点$a$指向节点$b$，电流为$I_s$；节点$b$再经过电阻$R$连接到节点$d$：

电阻支路电流为：

其中$G=1/R$。按前面的符号约定，三个节点的局部贡献可以写成：

这个矩阵仍然是奇异的。第一列全是 0，说明节点$a$的电压不会影响任何支路电流。物理上也很好理解：理想电流源会强制给出支路电流，电流源两端电压由外部网络决定；如果节点$a$没有再接到别的导纳、地或电压约束，仅靠这条“电流源 + 电阻”的局部支路，无法唯一确定$u_a$。

这不是说“电流源串联电阻不能用”，而是说它需要放进完整网络里看。如果节点$a$还接着其他电阻、电感伴随导纳、电容伴随导纳或电压约束，那么全局矩阵可能仍然可解；但理想电流源本身不会像电阻那样给两端节点贡献一个稳定的$2\times2$导纳块。

因此，很多工程模型不会只给一个理想电流源，而是给一个电流源并联一个导纳，或者在数值上并联一个很大的电阻。比如诺顿等效、Dommel 伴随模型里的“等效导纳 + 历史电流源”，都可以看成这种形式。

设并联导纳为$G$，电流源仍然从$a$指向$b$，则支路总电流为：

节点贡献为：

矩阵形式为：

这个式子其实就是前面 Dommel 形式的通用外壳：

只不过这里把$I_{\mathrm{his}}$换成了一个显式已知的$I_s$。从矩阵装配角度看，二者完全同型：$G$进入导纳矩阵，已知电流源进入当前步的已知项。

显式电压源

显式电压源比电流源麻烦，因为理想电压源给的是电压约束，而不是支路电流。先只看一个单独的理想电压源：

它告诉我们：

如果我们想像前面那样把支路整理成：

会立刻卡住。理想电压源没有给出$i$和$u_a-u_b$之间的导纳关系。它只说电压必须等于$U_s$，至于为了维持这个电压需要流过多少电流，要由外部电路决定。

所以单独一个理想电压源不能直接写成普通支路的 Dommel 形式。那就回到上一篇文章的 RLC 例子：理想电压源驱动一条 RLC 串联支路。RLC 离散以后可以写成：

先不要急着接地。把 RLC 串联支路整体看成一个等效导纳$G_{\mathrm{eq}}$和历史项$I_{\mathrm{his}}$。假设电压源和 RLC 支路都接在节点$a,b$之间，电压源给出：

只看 RLC 这条支路本身，矩阵表达是：

这个式子看起来已经没有什么问题了：有导纳矩阵，也有已知源项，形式上非常像前面一直写的：

再加上电压源约束：

看起来好像也说得通：RLC 支路电流由$u_a-u_b$决定，电压源又给出了$u_a-u_b$。

问题出在整个网络没有参考地。如果整个网络只有这两个节点，而且没有任何一个节点被选为参考地，那么它仍然缺一个绝对电位参考。**因为电压源只规定两个节点之间的差值，它没有规定$u_a$和$u_b$分别相对于哪里。**两个节点电压同时加上同一个常数，支路电压、电压源约束和所有支路电流都不变。

从矩阵上也能直接看出来。上面的矩阵本质上就是：

这个矩阵的行列式为：

所以它不能求逆。换句话说，存在一个“共同平移”的方向，矩阵乘上去以后什么也不变：

这个式子不用想得太抽象。向量$\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}^T$表示两个节点电压一起增加同一个量；矩阵乘出来是 0，意思就是这种共同增加不会改变任何支路电压差。于是解不唯一。例如：

和：

对只关心$u_a-u_b$的支路来说是同一个状态。这个时候，矩阵就会出现参考电位未定的问题。

所以，真正做节点电压法时必须选一个参考地。上一篇文章里为了把实战讲清楚，采用的就是最简单的情况：电压源一端接地，另一端接节点$a$。

此时：

电压源直接给出：

这时节点$a$的电压就有了明确参考，前面那个“整体平移”的自由度被消掉了。

显式电压源的工程建模

那么，有没有办法可以让电压源也写成$I=GV+I_{\mathrm{his}}$模式？工程上有一种常见处理：把电压源串联一个很小的电阻$R_s$，把理想电压源变成带内阻的实际电压源。

若按图中方向把$U_s$看成从$a$到$b$的电压源压降，则：

于是：

令$G_s=1/R_s$，就得到：

矩阵形式为：

这样它又回到了“导纳矩阵 + 已知源项”的形式。如果它再和 RLC 支路并联，总导纳就是：

对应矩阵可以写成：

但要注意，串联$R_s$解决的是“电压源支路能不能写成导纳形式”的问题，不解决“整个网络有没有参考地”的问题。如果整个网络仍然浮空，这个$2\times2$矩阵依然行和为 0，仍然不可逆。接地是为了给节点电压选择参考零点，不能由$R_s$代替。

代价是$R_s$是人为加入的工程参数；取得太小，矩阵可能病态，取得太大，又会明显改变电路行为。

如果电压源浮接在两个非参考节点之间，又不想引入这个串联小电阻近似，就不能再强行把它当成普通导纳支路处理了。后面讨论受控电压源时，会再看到这种电压约束怎样把问题推向 MNA。

压控电流源 VCCS

有了显式电流源以后，再看压控电流源就很自然了。显式电流源的$I_s$是当前步已知量；压控电流源只是把这个电流值换成了另一个节点电压差的线性函数。

设受控电流源输出端口接在节点$a$和节点$b$之间，输出电流方向从$a$指向$b$。它受节点$c$到节点$d$的电压控制：

其中$g_m$是跨导，单位是西门子。它表示控制端电压每变化$1\ \mathrm{V}$，输出端口电流变化多少安培。

这里要注意，$g_m$不一定是节点$c,d$之间某个真实电阻的电导。节点$c,d$之间的电压$u_c-u_d$只是控制信号；$g_m$是受控源模型自己给定的比例系数。只有当后面明确写出某条真实电阻支路，例如$i_x=G_x(u_c-u_d)$时，那个$G_x$才表示$c,d$支路的电导。

对输出端口两个节点来说：

如果把节点顺序取为$a,b,c,d$，就可以写成：

这个矩阵容易让人误会，关键要分清“输出端口”和“控制端口”。

前两行说明的是输出端口：节点$a,b$的流出电流由控制电压$u_c-u_d$决定，所以$i_a,i_b$和$u_c,u_d$有关，而不是和$u_a,u_b$有关。这正是受控电流源和普通电阻的区别。普通电阻的支路电流由自己两端电压决定；VCCS 的输出电流由另一个电压差决定。

后两行写成 0，并不是说这个元件和$u_c,u_d$没有关系。它的意思是：理想控制端口只“读取”$u_c-u_d$，不从节点$c,d$吸收电流。换句话说，$u_c,u_d$是控制信号来源，$i_c,i_d$不是由这只受控源注入的电流。

这个局部矩阵本身也确实是奇异的。它不能像一个完整电路那样单独拿来求逆，因为它没有给$a,b$端口提供导纳约束，也没有给$c,d$端口提供电流约束。节点电压法里的“元件矩阵”更准确地说是全局矩阵的一个装配贡献：程序把这些系数加到全局矩阵里，再和其他电阻、伴随导纳、接地约束、电压源约束一起求解。

所以，VCCS 仍然属于普通节点电压法能直接处理的形式。因为右边只含节点电压，没有出现新的未知电流；它的问题不是“不能装配”，而是“不能把这一只元件的局部矩阵当成完整可逆系统”。

如果控制端口和输出端口刚好是同一对节点，也就是$c=a,d=b$，那么 VCCS 退化成：

这时它就像一个电导值为$g_m$的普通支路：

所以 VCCS 并不神秘。只要控制量是节点电压差，它就能直接变成节点矩阵中的若干系数。

我们实战模拟一下。假设 VCCS 的输出端$a,b$之间并了一个电阻$R_o$，导纳为$G_o=1/R_o$；控制端$c,d$之间接了一个显式电压源$U_s$，同时并联一个电阻$R_x$，导纳为$G_x=1/R_x$。这时图上看起来有两个部分：左边是输出端口，右边是控制端口，中间只有控制关系，不是一根真实导线。

控制端电压源给出：

节点电流可以写成：

电压源约束可以写成：

这组式子已经能看出受控关系：$c,d$的电压差会通过$g_m$影响$a,b$端口电流；控制端并联的$R_x$也会给$c,d$两行贡献一个普通导纳块。但是如果整个网络只有这两块，仍然还没有唯一解。原因是：$c,d$之间的理想电压源和并联电阻都只关心$u_c-u_d$，没有规定$u_c,u_d$整体相对于哪里；$a,b$之间的电阻只规定由$u_a-u_b$产生的电流，也没有规定$a,b$整体相对于哪里。

所以如果$a,b$和$c,d$是两个互相没有导纳连接的浮空部分，最简单的处理就是各选一个参考点，例如：

这时：

若节点$a$没有外部注入电流，取$i_a=0$，则：

因此：

也就是说，受控源的“控制关系”会把$c,d$的电压差带到$a,b$的方程里，但它不等于一条普通导线，也不自动给每个浮空部分提供参考地。真正求解时，每个独立浮空网络都需要有参考点，或者接到一个已经有参考点的外部网络。

后面几类受控源也会遇到同样的问题。为了避免文章变得重复，后文主要讨论它们怎样进入矩阵；至于某个具体电路能不能唯一求解，仍然要回到全局网络里检查参考地、导纳路径和额外约束是否足够。

流控电流源 CCCS

流控电流源的输出电流由另一条支路电流控制。设输出端口仍然是$a\rightarrow b$，输出电流为：

其中$\beta$是电流放大系数，$i_x$是控制支路电流。

图中右侧的$R_x$支路只是用来测量或定义控制电流$i_x$，左侧菱形电流源才是输出端口。CCCS 的意思就是：输出端口流出多少电流，不直接由输出端口电压$u_a-u_b$决定，而是由另一条支路里的电流$i_x$决定。

这里要分两种情况。

如果控制电流$i_x$本身可以由节点电压直接写出来，例如它是节点$c$到节点$d$之间一个电阻支路的电流：

那么 CCCS 立刻变成：

这和 VCCS 完全同型，只是把$g_m$换成$\beta G_x$：

这时它仍然可以放进普通节点电压法。

但如果$i_x$不是一个能直接由节点电压表达的量，例如它是某个理想电压源支路的电流，或者是某个需要额外未知量才能得到的内部电流，那么普通节点电压法就不够用了。程序必须把$i_x$也作为额外未知量，或者从对应元件模型的内部状态里取出这个控制量。

所以 CCCS 能不能直接写进节点矩阵，关键不在“它是受控电流源”这几个字，而在控制电流$i_x$是否已经能写成节点电压的线性组合。

压控电压源 VCVS

受控电压源就麻烦得多。设电压源接在节点$a$和节点$b$之间，输出电压受$u_c-u_d$控制：

其中$\mu$是电压放大倍数。

这个式子不是电流方程，而是电压约束。普通节点电压法习惯的是：

但理想电压源不直接告诉我们支路电流是多少。为了写 KCL，必须引入这个电压源支路电流作为额外未知量。设该电流为$i_E$，方向从$a$到$b$。

于是对节点$a,b$有：

同时还要加上电压源约束：

把未知量顺序取为：

则这个 VCVS 对方程的贡献可以写成：

最后一行不是 KCL，而是电压约束方程。也正是因为多了这一行、多了$i_E$这个未知量，我们已经从普通节点电压法走向了改进节点电压法，也就是常说的 MNA，英文全称是 Modified Nodal Analysis。

这不是坏事。工程程序里处理理想电压源、受控电压源、理想变压器等元件时，本来就经常需要这种“节点电压 + 支路电流”的混合未知量。MNA 的完整组装和求解细节以后会单独讲；这里先不展开，只需要看清楚受控电压源为什么会把额外支路电流带进方程组。

流控电压源 CCVS

流控电压源的输出电压由另一个支路电流控制。设：

其中$r_m$是转移电阻，单位是欧姆。

如果控制电流$i_x$能够写成某个电阻支路的电流：

那么约束方程可以写成：

仍然引入输出电压源电流$i_H$，方向从$a$到$b$。这里的$i_H$不是外部给定的控制量，而是这个受控电压源输出端实际流过的支路电流。因为电压源本身只规定输出电压，不直接给出输出电流，所以求解器必须把这个电流也当成未知量一起求。

未知量顺序取为：

矩阵形式为：

如果$i_x$本身不能由节点电压直接表达，那么还需要把$i_x$作为额外未知量。此时约束行更像：

这说明 CCVS 比 VCVS 又多了一层依赖：不仅输出端是电压源约束，控制量也可能要求额外变量。

小结

这一篇的核心其实很简单：受控源能不能自然进入普通节点电压法，取决于它能不能写成“节点流出电流等于节点电压的线性组合”。

压控电流源最友好：

它可以直接写进节点导纳矩阵，只是矩阵通常不再对称。

流控电流源要看控制电流能不能由节点电压表示。如果：

那么它也可以化成类似 VCCS 的形式；否则就需要额外变量或内部状态。

受控电压源则不同。它给的是电压约束：

这类元件通常必须引入电压源支路电流作为额外未知量，于是问题自然进入 MNA。普通节点电压法不是不能继续发展，而是未知量集合已经从“只有节点电压”扩展成了“节点电压 + 某些支路电流”。

所以，从程序实现角度看，受控源不是一个单独的魔法元件。受控电流源主要是在矩阵中增加跨行列系数；受控电压源主要是在方程组中增加约束行和额外电流未知量。把这一点看清楚，后面再理解 MNA 就会顺很多。