节点电压法中 G 矩阵的性质

RLC侠收录于

2026-06-30 2026-07-01 约 7100 字预计阅读 15 分钟 - 次阅读

前面几篇文章已经把 R、L、C、RLC 串联支路和源类元件陆续写进了节点电压法。写到这里，读者很容易产生一个新的问题：程序里反复求解的那个 $G$ 矩阵，到底有什么结构？

这个问题不只是数学洁癖。电磁暂态仿真每一个时间步都要求解网络方程。如果矩阵有对称性、稀疏性、正定性，程序就可以用更省内存、更快的分解方法；如果矩阵固定不变，程序还可以在实时运行前提前把矩阵处理好。反过来，如果矩阵奇异、不对称，或者每一步都在变，求解器要付出的代价就完全不同。

这一篇先不写具体稀疏矩阵程序，只把几个最重要的性质讲清楚：对称性、正定性、奇异性，以及它们在 EMT 计算里的工程意义。

先看几种会在节点电压法里反复遇到的矩阵形状。这里先不急着给它们下结论，因为单个支路的局部矩阵和完整网络的全局矩阵不是一回事。局部矩阵可能对称，也可能不对称；它还常常是奇异的。真正能不能求解，要看它被装配进什么样的完整网络。

第一种形状来自普通无源支路。把上一篇文章里的 RLC 串联支路拿回来，先不接任何电压源，只看这条支路本身。梯形离散以后，它可以整体看成一个等效导纳 $G_{\mathrm{eq}}$ 和一个历史项 $I_{\mathrm{his}}$ ：

RLC 串联支路的节点电压 — 无源 RLC 串联支路本身会贡献上下镜像的导纳项

只看 RLC 这条支路对节点 $a,b$ 的贡献，它进入节点方程时会出现这种上下镜像的小矩阵：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G_{\mathrm{eq}}&-G_{\mathrm{eq}}\\-G_{\mathrm{eq}}&G_{\mathrm{eq}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}I_{\mathrm{his}}\\-I_{\mathrm{his}}\end{bmatrix}

这里的“无源”说的是物理支路仍然只是 R、L、C； $I_{\mathrm{his}}$ 是离散递推带来的历史项，它进右端向量，不是外部电压源或外部电流源。

但这类上下镜像的小矩阵还有另一个特点：只看它自己，往往也是奇异的。最简单的电阻支路就是这样。如果整个网络只有节点 $a,b$ ，而且没有任何一个节点接参考地，那么矩阵是：

Y_{\mathrm{float}}=\begin{bmatrix}G&-G\\-G&G\end{bmatrix}

它看起来很正常，也仍然是对称的，但它的两行相加为零：

\begin{bmatrix}G&-G\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-G&G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\end{bmatrix}

所以：

\det(Y_{\mathrm{float}})=0

这时矩阵奇异。问题不是电阻错了，而是网络缺少参考点： $u_a=100,u_b=0$ 和 $u_a=110,u_b=10$ 对这条支路来说压差一样，支路电流也一样。

所以这个例子想观察的不是“一个无源局部块已经能单独求解”，而是两件事：它会给全局 $G$ 矩阵贡献一种对称结构；如果完整网络没有参考点，这种结构也可能留下整体电位平移的自由度。

第二种形状来自受控源。上一篇讲过压控电流源 VCCS。它的输出端接在节点 $a,b$ 之间，控制量来自节点 $c,d$ 的电压差：

i=g_m(u_c-u_d)

它对矩阵的局部贡献可以写成：

Y_{\mathrm{vccs}}=\begin{bmatrix}0&0&g_m&-g_m\\0&0&-g_m&g_m\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}

这个局部矩阵看起来更别扭：例如 $a,c$ 位置有 $g_m$ ，但 $c,a$ 位置是 $0$ 。同时它有大量零行、零列，单独拿出来当然也不能代表一个完整可解网络。这里想观察的是另一件事：受控源会把“输出端”和“控制端”交叉耦合起来，使局部导纳贡献一般不再满足转置对称性。

从一个支路的装配开始

先回到最熟悉的无源电阻支路。设电阻接在节点 $a$ 和节点 $b$ 之间，电流参考方向从 $a$ 到 $b$ ，支路电流为：

i=G(u_a-u_b)

按“流出节点为正”的约定，对两个端点写成矩阵就是：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G&-G\\-G&G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}

这个小矩阵就是支路对全局 $G$ 矩阵的局部贡献。装配时，程序只是把这四个数加到全局矩阵中节点 $a,b$ 对应的位置：

G_{aa}\leftarrow G_{aa}+G,\quad G_{ab}\leftarrow G_{ab}-G,\quad G_{ba}\leftarrow G_{ba}-G,\quad G_{bb}\leftarrow G_{bb}+G

电感、电容经过 Dommel 形式离散以后，只要当前步能写成：

i=G_{\mathrm{eq}}(u_a-u_b)+I_{\mathrm{his}}

它们进入矩阵的方式也是同一个结构。区别只是 $G$ 变成 $G_{\mathrm{eq}}$ ，历史项 $I_{\mathrm{his}}$ 进入右端向量，而不是进入 $G$ 矩阵。

为什么无源网络通常是对称的

无源 R、L、C 支路离散后，每条支路给出的局部矩阵都是：

\begin{bmatrix}G&-G\\-G&G\end{bmatrix}

它天然满足转置不变：

Y_{\mathrm{branch}}=Y_{\mathrm{branch}}^T

很多这样的对称小矩阵装配到一起，全局矩阵仍然对称。所以，对只含线性无源支路的网络，节点导纳矩阵通常是对称的。

这里还会遇到一个词：互易性。粗略地说，互易就是把激励位置和响应位置互换以后，传递关系不变。用导纳矩阵写，就是节点 $m$ 的电压对节点 $n$ 电流的影响，和节点 $n$ 的电压对节点 $m$ 电流的影响是成对相等的：

Y_{mn}=Y_{nm}

推广到整个矩阵，就是：

Y=Y^T

普通 R、L、C 无源网络通常具有这种互易性，所以它们装配出来的导纳矩阵容易是对称的。理想变压器这类元件本身也可以是互易的，但它往往不是一个简单的“导纳支路”，而是电压、电流约束关系，实际求解时常常要进入 MNA；这会让矩阵形式变得更复杂，不再是单纯的普通节点导纳矩阵。

这个对称性可以从两个角度理解。

第一个角度是 KCL 和支路电流关系。支路电流只由两端电压差决定：从 $a$ 看出去是 $G(u_a-u_b)$ ，从 $b$ 看出去就是 $G(u_b-u_a)$ 。同一条支路对两个端点的影响大小相等、符号相反，于是矩阵中 $a,b$ 两个位置会成对出现 $-G$ 。

第二个角度是功率或能量。对一个电阻支路，瞬时耗散功率为：

p=G(u_a-u_b)^2

这是一个平方项，不会因为把节点 $a,b$ 的名字交换一下就改变。对整个无源网络，所有支路贡献加起来可以写成类似：

u^TGu=\sum_{\ell}G_\ell(u_m-u_n)^2

这里 $\ell$ 表示第 $\ell$ 条支路， $m,n$ 是这条支路的两个端点。这个式子告诉我们：无源导纳矩阵的二次型来自各条支路电压差的平方和。它反映的是耗散或离散后的等效储能关系，因此自然带有很强的对称结构。

所以，说“无源网络的 $G$ 矩阵对称”时，不必把原因只归结成一句“能量守恒”。更准确地说：无源、互易、只由两端电压差决定的支路，在 KCL 装配时会给出成对的对称贡献；从功率二次型看，这种贡献又对应电压差平方项。

正定和半正定

对称不等于正定。一个矩阵对称，只说明：

G=G^T

正定讨论的是：

u^TGu>0

是否对所有非零向量 $u$ 都成立。

对无源电阻网络或 Dommel 等效导纳网络来说，通常可以得到：

u^TGu=\sum_{\ell}G_\ell(u_m-u_n)^2\ge 0

因此它至少有半正定的味道。只要所有 $G_\ell$ 都是正数，任何支路电压差都会贡献非负项。

但“非负”还不是“正”。如果整个网络完全浮起来，没有任何参考地，那么所有节点电压一起加上同一个常数，所有支路电压差都不变：

u_m-u_n\quad\text{不变}

于是 $u^TGu$ 也不变。更具体地说，对一个只靠支路互相连接、没有参考点的网络，向量：

\mathbf{1}=\begin{bmatrix}1&1&\cdots&1\end{bmatrix}^T

通常会落在零空间里：

G\mathbf{1}=0

这时矩阵不是正定，而是半正定，并且是奇异的。

真正让矩阵变成正定的，往往不是“无源”本身，而是参考点和网络连通性。选定参考地以后，如果每个待求节点都通过某些导纳路径和参考点连通，那么非零节点电压通常会造成至少一条支路电压差不为零，于是：

u^TGu>0

这时 $G$ 才更接近我们在线性代数里喜欢的对称正定矩阵。

奇异性从哪里来

奇异的意思很直接：矩阵不能唯一求解。数学上可以看行列式：

\det(G)=0

工程上更常见的感觉是：节点电压没有唯一参考，或者某些节点没有被足够的方程约束住。

最典型的例子就是上一篇反复提到的浮地网络。两个节点之间只有一个电阻：

\begin{bmatrix}i_a\\i_b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}G&-G\\-G&G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_a\\u_b\end{bmatrix}

这个矩阵的两行相加为零：

\begin{bmatrix}G&-G\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-G&G\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\end{bmatrix}

所以它的秩不满。只要 $u_a-u_b$ 相同，支路状态就相同。例如：

u_a=100,\quad u_b=0

和：

u_a=110,\quad u_b=10

对这个电阻支路来说没有区别。差值都是 $100$ ，电流也一样。问题是节点电压法要求的是每个节点相对于参考地的电压，而不是只求支路压差。因此没有参考点时，矩阵会留下一个“整体平移”的自由度。

除了浮地，奇异还可能来自：

孤立节点或孤立子网络没有接到参考点。
只有理想电流源，没有并联导纳或其他约束路径。
理想电压源、受控电压源等约束没有用 MNA 正确引入额外未知量。
开关断开后，网络被切成了多个没有参考的电气孤岛。

这些情况本质上都在说同一件事：矩阵里某些自由度没有被方程真正钉住。

对称矩阵为什么对 EMT 有用

在 EMT 程序里，每一个时间步常见的线性方程形如：

G u = b

这里 $u$ 是当前步节点电压， $b$ 是右端向量，里面包含电流源、历史项和外部注入。

如果 $G$ 是对称的，程序在存储和求解时都能占便宜。最直观的好处是：矩阵上下三角互为镜像，理论上只需要存储一半的非零结构。更重要的是，对称正定矩阵可以使用 Cholesky 这类分解；对称但不正定的 MNA 矩阵，也可以使用适合对称不定矩阵的分解方法。

这里要注意一个说法：工程程序一般不会真的先求出 $G^{-1}$ ，再每一步做：

u=G^{-1}b

显式求逆通常又慢又不稳定。更常见的做法是对 $G$ 做分解，例如：

G=LL^T

或者其他适合稀疏矩阵的分解形式。分解以后，每个时间步只需要更新右端 $b$ ，再做前代、回代求出 $u$ 。

这就是为什么 EMT 程序非常喜欢固定步长和固定拓扑。以 Dommel 形式为例，电感和电容的等效导纳分别含有时间步长 $T$ ：

G_L=\frac{T}{2L},\qquad G_C=\frac{2C}{T}

如果 $T$ 不变，元件参数不变，开关拓扑也不变，那么全局 $G$ 矩阵就不变。实时运行前，程序可以先完成：

节点编号。
矩阵非零结构分析。
$G$ 矩阵装配。
矩阵分解。

实时运行时，每一拍主要做：

更新历史项和源注入。
组装右端向量 $b$ 。
用已经分解好的矩阵求解节点电压。
回算支路电流和新的历史项。

这对实时仿真尤其关键。因为实时程序最怕每一步都重新分析矩阵结构、重新分解矩阵，那会让计算耗时变得不可控。

什么时候 G 不再对称

上一篇讲受控源时已经看到一个典型情况：压控电流源 VCCS 的输出端在 $a,b$ ，控制量却来自 $c,d$ 。例如：

i=g_m(u_c-u_d)

它对节点 $a,b$ 的 KCL 有贡献，但这个贡献写在 $c,d$ 对应的列上。装配时，矩阵里会出现类似这样的局部贡献：

\begin{bmatrix}0&0&g_m&-g_m\\0&0&-g_m&g_m\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}

这类局部贡献会把全局矩阵推向非对称。原因也很清楚：输出端和控制端不是同一对节点。控制电压影响输出电流，但输出节点电压不一定反过来以同样方式影响控制端电流。这是非互易关系，不再是普通无源两端支路那种“你影响我，我也以同样大小影响你”的结构。

除了受控源，下面这些情况也可能让矩阵性质变复杂：

理想电压源、受控电压源、理想变压器等需要 MNA，引入额外支路电流未知量。
电力电子开关改变拓扑，使矩阵结构随时间变化。
非线性元件在线性化后，等效导纳随工作点变化。
变步长积分会让电感、电容的 $G_{\mathrm{eq}}$ 随时间步变化。
某些数值稳定化、小电阻、小电导处理会改变矩阵条件数。

所以“无源网络对称”是一个很有用的基础直觉，但不能把它当成所有电路矩阵的默认真理。

小结

这一篇真正想整理的是几个容易混在一起的词：

对称：矩阵满足 $G=G^T$ 。无源、互易、线性支路通常给出对称装配。
半正定： $u^TGu\ge 0$ 。无源支路的电压差平方和通常具有这个性质。
正定：对所有非零 $u$ 都有 $u^TGu>0$ 。这通常还需要参考点和足够的导纳连通性。
奇异：矩阵不能给出唯一解。常见原因是浮地、孤岛、缺少约束或理想源处理不完整。
固定矩阵：如果步长、拓扑和参数不变， $G$ 可以提前装配和分解，实时计算时主要更新右端向量。
非对称矩阵：受控源和非互易关系会让输出端与控制端交叉耦合，从而破坏普通无源网络的对称结构。

从 EMT 的角度看，理解这些性质不是为了炫耀线性代数，而是为了知道程序为什么要选参考地，为什么要避免奇异网络，为什么喜欢固定步长，为什么开关和受控源会让求解器更麻烦。矩阵不是凭空冒出来的，它只是把每条支路的物理关系，按节点电压法装配到了一起。