伯德图（Bode 图）回答一个很直观的问题：给系统一个正弦输入，当频率改变时，输出的幅值和相位会怎样变化？ 我们先从一个简单的 RL 电路出发，建立它的传递函数。
1. 我们要控制什么？
图 1：被控对象为串联 RL 电路，输入为电压指令，输出为测量电流。 图中，u ∗ ( t ) u^*(t) u ∗ ( t ) u ( t ) u(t) u ( t ) i ( t ) i(t) i ( t ) i m ( t ) i_m(t) i m ( t )
我们希望通过改变 u ∗ ( t ) u^*(t) u ∗ ( t ) 电压改变以后，电流怎样响应？
这里先取 R > 0 R>0 R > 0 L > 0 L>0 L > 0
u ( t ) = u ∗ ( t ) , i m ( t ) = i ( t ) .
u(t)=u^*(t),\qquad i_m(t)=i(t).
u ( t ) = u ∗ ( t ) , i m ( t ) = i ( t ) . 暂不考虑电压源的响应延迟、限幅，以及电流测量的滤波和延迟。图中虚线表示指令或测量信号，不是额外的电流支路。
2. 从电路方程到传递函数
沿电流方向应用基尔霍夫电压定律，得到：
u ( t ) = R i ( t ) + L d i ( t ) d t .
u(t)=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}.
u ( t ) = R i ( t ) + L d t d i ( t ) . 电压一部分落在电阻上，另一部分用于改变电感电流。因此，电流不会在电压改变时立刻跳到新的稳态值。
在零初始条件 下，作拉普拉斯变换：
U ( s ) = ( R + L s ) I ( s ) .
U(s)=(R+Ls)I(s).
U ( s ) = ( R + L s ) I ( s ) . 于是，电压到电流的传递函数为：
G ( s ) = I ( s ) U ( s ) = 1 L s + R .
\boxed{G(s)=\frac{I(s)}{U(s)}=\frac{1}{Ls+R}}.
G ( s ) = U ( s ) I ( s ) = L s + R 1 . 在上述理想假设下，电压指令到测量电流也具有相同的传递函数：
I m ( s ) U ∗ ( s ) = 1 L s + R = 1 / R 1 + τ s , τ = L R .
\boxed{\frac{I_m(s)}{U^*(s)}=\frac{1}{Ls+R}
=\frac{1/R}{1+\tau s},\qquad \tau=\frac{L}{R}}.
U ∗ ( s ) I m ( s ) = L s + R 1 = 1 + τ s 1/ R , τ = R L . 这是一个一阶惯性环节 。1 / R 1/R 1/ R τ = L / R \tau=L/R τ = L / R
这里的 G ( s ) G(s) G ( s )
3. RL 被控对象的伯德图
令 s = j ω s=j\omega s = jω
G ( j ω ) = 1 R + j ω L .
G(j\omega)=\frac{1}{R+j\omega L}.
G ( jω ) = R + jω L 1 . 3.1 幅值：输入一个正弦电压，会得到多大的电流？
当输入电压是角频率为 ω \omega ω
I ^ U ^ = ∣ G ( j ω ) ∣ = 1 R 2 + ( ω L ) 2 ,
\boxed{\frac{\hat I}{\hat U}=|G(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}},
U ^ I ^ = ∣ G ( jω ) ∣ = R 2 + ( ω L ) 2 1 , φ ( ω ) = − arctan ( ω L R ) .
\boxed{\varphi(\omega)=-\arctan\left(\frac{\omega L}{R}\right)}.
φ ( ω ) = − arctan ( R ω L ) . 这里 U ^ \hat U U ^ I ^ \hat I I ^ ω \omega ω
例如，给电路施加峰值为 1 V 1\,\mathrm V 1 V
u ( t ) = U ^ sin ( ω t ) , U ^ = 1 V .
u(t)=\hat U\sin(\omega t),\qquad \hat U=1\,\mathrm V.
u ( t ) = U ^ sin ( ω t ) , U ^ = 1 V . 稳态电流为：
i ( t ) = I ^ sin ( ω t + φ ) , I ^ = ∣ G ( j ω ) ∣ U ^ .
i(t)=\hat I\sin(\omega t+\varphi),\qquad \boxed{\hat I=|G(j\omega)|\hat U}.
i ( t ) = I ^ sin ( ω t + φ ) , I ^ = ∣ G ( jω ) ∣ U ^ . 因此，如果某个频率下 ∣ G ( j ω ) ∣ = 0.5 A / V |G(j\omega)|=0.5\,\mathrm{A/V} ∣ G ( jω ) ∣ = 0.5 A/V 1 V 1\,\mathrm V 1 V 0.5 A 0.5\,\mathrm A 0.5 A 伯德图的幅值曲线告诉我们的，正是每个频率下这种输入幅值与输出幅值的对应关系。
这里讨论的是持续正弦激励下的稳态响应，不是刚接通电压时的暂态过程。改变频率后，实际电路仍需要经历过渡过程才能到达新的正弦稳态。
3.2 dB：把幅值关系换一种刻度表示
幅值可以直接用 A/V 表示，也可以换成分贝（dB）。换成 dB 不会改变电路，只是把纵轴改为对数刻度。 较大的幅值跨度可以用较紧凑的数值范围表示。
由于这里输出是电流、输入是电压，∣ G ∣ |G| ∣ G ∣ G r e f = 1 A / V G_{ref}=1\,\mathrm{A/V} G re f = 1 A/V
M d B ( ω ) = 20 log 10 ( ∣ G ( j ω ) ∣ G r e f ) , G r e f = 1 A / V .
\boxed{M_{dB}(\omega)=20\log_{10}\left(\frac{|G(j\omega)|}{G_{ref}}\right),\qquad G_{ref}=1\,\mathrm{A/V}}.
M d B ( ω ) = 20 log 10 ( G re f ∣ G ( jω ) ∣ ) , G re f = 1 A/V . 反过来读图，就有：
∣ G ( j ω ) ∣ = G r e f 10 M d B ( ω ) / 20 .
|G(j\omega)|=G_{ref}\,10^{M_{dB}(\omega)/20}.
∣ G ( jω ) ∣ = G re f 1 0 M d B ( ω ) /20 . 以峰值 1 V 1\,\mathrm V 1 V
图上幅值 对应的幅值比 稳态电流峰值 + 6.02 d B +6.02\,\mathrm{dB} + 6.02 dB 约 2 A / V 2\,\mathrm{A/V} 2 A/V 约 2 A 2\,\mathrm A 2 A 0 d B 0\,\mathrm{dB} 0 dB 1 A / V 1\,\mathrm{A/V} 1 A/V 1 A 1\,\mathrm A 1 A − 3.01 d B -3.01\,\mathrm{dB} − 3.01 dB 约 0.707 A / V 0.707\,\mathrm{A/V} 0.707 A/V 约 0.707 A 0.707\,\mathrm A 0.707 A − 6.02 d B -6.02\,\mathrm{dB} − 6.02 dB 约 0.5 A / V 0.5\,\mathrm{A/V} 0.5 A/V 约 0.5 A 0.5\,\mathrm A 0.5 A − 20 d B -20\,\mathrm{dB} − 20 dB 0.1 A / V 0.1\,\mathrm{A/V} 0.1 A/V 0.1 A 0.1\,\mathrm A 0.1 A
0 dB 不表示没有输出，负 dB 也不表示电流为负。 它们只表示幅值比等于或小于所选参考值；电流波形的正负变化和相位要另外看。
还要区分“幅值为 − 3.01 d B -3.01\,\mathrm{dB} − 3.01 dB 3.01 d B 3.01\,\mathrm{dB} 3.01 dB 1 / R 1/R 1/ R 1 / 2 1/\sqrt2 1/ 2 3.01 d B 3.01\,\mathrm{dB} 3.01 dB R R R − 3.01 d B -3.01\,\mathrm{dB} − 3.01 dB
3.3 从伯德图上的一个点，看到时域波形
下面只画 G ( j ω ) G(j\omega) G ( jω ) 1 A / V 1\,\mathrm{A/V} 1 A/V 20 log 10 ( ∣ G ( j ω ) ∣ / ( 1 A / V ) ) 20\log_{10}(|G(j\omega)|/(1\,\mathrm{A/V})) 20 log 10 ( ∣ G ( jω ) ∣/ ( 1 A/V ))
选定一个角频率，就选定了伯德图上的一个幅值和一个相位。下方对应的时域图采用 1 V 1\,\mathrm V 1 V ∣ G ( j ω ) ∣ × 1 V |G(j\omega)|\times1\,\mathrm V ∣ G ( jω ) ∣ × 1 V
电压、电流画在同一张时域图上。蓝线为 u / ( 1 V ) u/(1\,\mathrm V) u / ( 1 V ) i / ( 1 A ) i/(1\,\mathrm A) i / ( 1 A ) ∣ G ∣ / ( 1 A / V ) |G|/(1\,\mathrm{A/V}) ∣ G ∣/ ( 1 A/V )
动画展示的是所选参数下的正弦稳态 ，并非参数改变后的真实暂态。时间轴标注实际时间，每轮展示三个周期，屏幕播放约需 6 秒；播放速度不代表电路的真实频率。两条曲线不会分别按各自峰值归一化，否则幅值差异就被抹去了。
ωp = 100 rad/s
fp = 15.92 Hz
τ = 10 ms
f = 15.92 Hz
|G| = 0.7071 A/V
M = -3.01 dB
φ = -45.00 °
电流峰值 = 0.7071 A
伯德图计算模块
const root = document.getElementById('rl-bode'); return import(root.querySelector('.bode-module').href).then(module => module.mount(root, chart, fixit.isDark)); 峰值比 k = (Î / 1 A) / (Û / 1 V) = 0.7071 ；M = 20 log₁₀ k = -3.01 dB
波峰时间差 Δt = 7.854 ms ；周期 T = 62.83 ms
相位 φ = −360° × Δt / T = -45.00 °（电流滞后）
t = 0 ms
u(t) = 0 V
i(t) = -0.5 A
交互式伯德图需要启用 JavaScript；幅值与相位的计算公式见上文。
伯德图中的灰色竖虚线标出转折角频率 ω p = R / L \omega_p=R/L ω p = R / L 3.01 d B 3.01\,\mathrm{dB} 3.01 dB − 45 ∘ -45^\circ − 4 5 ∘
例如，初始参数 R = 1 Ω R=1\,\Omega R = 1 Ω L = 10 m H L=10\,\mathrm{mH} L = 10 mH ω = 100 r a d / s \omega=100\,\mathrm{rad/s} ω = 100 rad/s − 3.01 d B -3.01\,\mathrm{dB} − 3.01 dB 0.707 A 0.707\,\mathrm A 0.707 A − 45 ∘ -45^\circ − 4 5 ∘
时域图中的两个彩色圆点标出同一周期内的正峰值，竖向虚线从零线延伸经过峰值。看峰值高度之比，读出幅值；看两个波峰的时间差，读出相位。 图中的水平箭头标出电流波峰比电压波峰晚出现的时间 Δ t \Delta t Δ t T = 2 π / ω T=2\pi/\omega T = 2 π / ω 360 ∘ 360^\circ 36 0 ∘
φ = − 360 ∘ Δ t T .
\varphi=-360^\circ\frac{\Delta t}{T}.
φ = − 36 0 ∘ T Δ t . 这里负号表示滞后。默认参数下，Δ t ≈ 7.854 m s \Delta t\approx7.854\,\mathrm{ms} Δ t ≈ 7.854 ms T ≈ 62.83 m s T\approx62.83\,\mathrm{ms} T ≈ 62.83 ms − 45 ∘ -45^\circ − 4 5 ∘
保持 R R R L L L L L L R R R
初学的读者会对 dB 这个单位特别陌生：既然是比值，为什么不直接画？
当然可以。下面固定 R = 1 Ω R=1\,\Omega R = 1 Ω L = 10 m H L=10\,\mathrm{mH} L = 10 mH k = ∣ G ∣ / ( 1 A / V ) k=|G|/(1\,\mathrm{A/V}) k = ∣ G ∣/ ( 1 A/V ) 20 log 10 k 20\log_{10}k 20 log 10 k
图 2：同一组幅值数据的两种表示。浅绿色区域对应相同的高频范围。 看浅绿色区域：频率从 10 3 10^3 1 0 3 10 4 10^4 1 0 4 10 5 r a d / s 10^5\,\mathrm{rad/s} 1 0 5 rad/s 0.1 0.1 0.1 0.01 0.01 0.01 0.001 0.001 0.001 每一步都缩小到原来的十分之一，但在线性纵轴上，后两点几乎贴着零线。 换成 dB 后，对应约 − 20 -20 − 20 − 40 -40 − 40 − 60 d B -60\,\mathrm{dB} − 60 dB 20 d B 20\,\mathrm{dB} 20 dB
所以不是“不用比值”，而是当幅值跨越多个数量级时，dB 更方便同时观察大幅值和小幅值的变化 。电路没有改变，数据也没有改变，改变的只是纵轴的表示方式。
4. 加入PI控制及参数整定
前面给 RL 电路施加电压，观察电流怎样响应。现在换一个目标：希望实际电流跟随我们给定的电流 i ∗ ( t ) i^*(t) i ∗ ( t ) 为此，需要测量实际电流，将它与给定值比较，再让 PI 根据两者的差异调整电压。
4.1 先明确闭环要做什么
图 3：在图 1 的基础上加入 PI 和电流负反馈。蓝色虚线是控制信号，黑色实线是电路导线；反馈线不表示电流沿该线流回控制器。 图中的 i ∗ ( t ) i^*(t) i ∗ ( t ) i m ( t ) i_m(t) i m ( t ) 电流误差 ：
e ( t ) = i ∗ ( t ) − i m ( t ) .
e(t)=i^*(t)-i_m(t).
e ( t ) = i ∗ ( t ) − i m ( t ) . PI 的输入现在有了明确意义：它不是直接接收给定电流，而是接收“还差多少”的误差信号。PI 输出电压指令 u ∗ ( t ) u^*(t) u ∗ ( t ) u ( t ) = u ∗ ( t ) u(t)=u^*(t) u ( t ) = u ∗ ( t ) i m ( t ) = i ( t ) i_m(t)=i(t) i m ( t ) = i ( t )
PI 包含比例（P）和积分（I）两部分。令积分项初始值为零，有：
u ∗ ( t ) = K p e ( t ) + K i ∫ 0 t e ( ξ ) d ξ .
u^*(t)=K_p e(t)+K_i\int_0^t e(\xi)\,d\xi.
u ∗ ( t ) = K p e ( t ) + K i ∫ 0 t e ( ξ ) d ξ . 比例部分 根据当前误差贡献电压指令：当前误差越大，这部分的调整越大。积分部分 累积过去的误差：只要误差持续存在，这部分就会继续调整；即使当前误差为零，已经积累的积分值也可以维持非零电压指令。先取 K p > 0 K_p>0 K p > 0 K i ≥ 0 K_i\geq0 K i ≥ 0 K i = 0 K_i=0 K i = 0
C ( s ) = U ∗ ( s ) E ( s ) = K p + K i s .
\boxed{C(s)=\frac{U^*(s)}{E(s)}=K_p+\frac{K_i}{s}}.
C ( s ) = E ( s ) U ∗ ( s ) = K p + s K i .
在零初始条件下，PI 的输出等于传递函数与输入信号的拉普拉斯变换相乘 。这里把乘号明确写出来：
U ∗ ( s ) = C ( s ) ⋅ E ( s ) .
\boxed{U^*(s)=C(s)\cdot E(s)}.
U ∗ ( s ) = C ( s ) ⋅ E ( s ) . 由 e ( t ) = i ∗ ( t ) − i m ( t ) e(t)=i^*(t)-i_m(t) e ( t ) = i ∗ ( t ) − i m ( t )
E ( s ) = I ∗ ( s ) − I m ( s ) .
E(s)=I^*(s)-I_m(s).
E ( s ) = I ∗ ( s ) − I m ( s ) . 因此，PI 的输出可以一步一步写成：
U ∗ ( s ) = C ( s ) ⋅ E ( s ) = C ( s ) ⋅ [ I ∗ ( s ) − I m ( s ) ] = ( K p + K i s ) ⋅ [ I ∗ ( s ) − I m ( s ) ] .
\begin{aligned}
U^*(s)&=C(s)\cdot E(s)\\
&=C(s)\cdot\left[I^*(s)-I_m(s)\right]\\
&=\left(K_p+\frac{K_i}{s}\right)\cdot
\left[I^*(s)-I_m(s)\right].
\end{aligned}
U ∗ ( s ) = C ( s ) ⋅ E ( s ) = C ( s ) ⋅ [ I ∗ ( s ) − I m ( s ) ] = ( K p + s K i ) ⋅ [ I ∗ ( s ) − I m ( s ) ] . 方括号只是把整个误差信号括起来，它与前面的 C ( s ) C(s) C ( s ) C C C
这里输入是电流误差、输出是电压，所以 K p K_p K p V / A \mathrm{V/A} V/A K i K_i K i V / ( A ⋅ s ) \mathrm{V/(A\cdot s)} V/ ( A ⋅ s )
再把 PI 的输出接到 RL 对象。由于电压源和测量理想，测量电流满足：
I m ( s ) = G ( s ) ⋅ U ∗ ( s ) = G ( s ) ⋅ C ( s ) ⋅ [ I ∗ ( s ) − I m ( s ) ] .
\begin{aligned}
I_m(s)&=G(s)\cdot U^*(s)\\
&=G(s)\cdot C(s)\cdot\left[I^*(s)-I_m(s)\right].
\end{aligned}
I m ( s ) = G ( s ) ⋅ U ∗ ( s ) = G ( s ) ⋅ C ( s ) ⋅ [ I ∗ ( s ) − I m ( s ) ] . 将右侧括号展开，再把含 I m ( s ) I_m(s) I m ( s )
I m ( s ) = G ( s ) ⋅ C ( s ) ⋅ I ∗ ( s ) − G ( s ) ⋅ C ( s ) ⋅ I m ( s ) , [ 1 + G ( s ) ⋅ C ( s ) ] ⋅ I m ( s ) = G ( s ) ⋅ C ( s ) ⋅ I ∗ ( s ) .
\begin{aligned}
I_m(s)&=G(s)\cdot C(s)\cdot I^*(s)-G(s)\cdot C(s)\cdot I_m(s),\\
\left[1+G(s)\cdot C(s)\right]\cdot I_m(s)&=G(s)\cdot C(s)\cdot I^*(s).
\end{aligned}
I m ( s ) [ 1 + G ( s ) ⋅ C ( s ) ] ⋅ I m ( s ) = G ( s ) ⋅ C ( s ) ⋅ I ∗ ( s ) − G ( s ) ⋅ C ( s ) ⋅ I m ( s ) , = G ( s ) ⋅ C ( s ) ⋅ I ∗ ( s ) . 于是得到给定电流到测量电流的闭环传递函数 ：
G c l ( s ) = I m ( s ) I ∗ ( s ) = C ( s ) G ( s ) 1 + C ( s ) G ( s ) .
\boxed{G_{\mathrm{cl}}(s)=\frac{I_m(s)}{I^*(s)}
=\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}}.
G cl ( s ) = I ∗ ( s ) I m ( s ) = 1 + C ( s ) G ( s ) C ( s ) G ( s ) . 这个传递函数回答的是：给定电流变化后，实际电流怎样跟随？响应多快、有没有超调，都属于闭环性能问题。但接成负反馈，并不意味着任意 PI 参数都能获得满意的性能。
4.2 观察 PI 参数怎样改变闭环响应
沿用图 3 的闭环连接，先给出具体电路参数和电流跟踪目标，再观察改变 PI 参数后，实际电流怎样跟随给定。
第一步：把电路和控制目标写清楚
固定本节的电路参数，不随第 3 节的滑块变化：
R = 1 Ω , L = 10 m H = 0.01 H , G ( s ) = 1 0.01 s + 1 .
R=1\,\Omega,\qquad L=10\,\mathrm{mH}=0.01\,\mathrm H,
\qquad G(s)=\frac{1}{0.01s+1}.
R = 1 Ω , L = 10 mH = 0.01 H , G ( s ) = 0.01 s + 1 1 . 初始电流、PI 积分初值都取零，电流给定在 t = 0 t=0 t = 0 0 0 0 1 A 1\,\mathrm A 1 A 约 10 m s 10\,\mathrm{ms} 10 ms 0.98 0.98 0.98 1.02 A 1.02\,\mathrm A 1.02 A 这就是本例的“2% 调节时间”要求。
待选的参数有两个：K p K_p K p K i K_i K i
第二步：把闭环表现与环路特征对应起来
先取一组便于观察的初始值，不把它当作已经整定好的结果：
K p = 1 V / A , K i = 400 V / ( A ⋅ s ) .
K_p=1\,\mathrm{V/A},\qquad K_i=400\,\mathrm{V/(A\cdot s)}.
K p = 1 V/A , K i = 400 V/ ( A ⋅ s ) . 把 C ( s ) = K p + K i / s C(s)=K_p+K_i/s C ( s ) = K p + K i / s G ( s ) = 1 / ( 0.01 s + 1 ) G(s)=1/(0.01s+1) G ( s ) = 1/ ( 0.01 s + 1 )
G c l ( s ) = C ( s ) ⋅ G ( s ) 1 + C ( s ) ⋅ G ( s ) = K p s + K i s ( 0.01 s + 1 ) + K p s + K i = K p s + K i 0.01 s 2 + ( 1 + K p ) s + K i .
\begin{aligned}
G_{\mathrm{cl}}(s)
&=\frac{C(s)\cdot G(s)}{1+C(s)\cdot G(s)}\\
&=\frac{K_p s+K_i}{s(0.01s+1)+K_p s+K_i}\\
&=\boxed{\frac{K_p s+K_i}{0.01s^2+(1+K_p)s+K_i}}.
\end{aligned}
G cl ( s ) = 1 + C ( s ) ⋅ G ( s ) C ( s ) ⋅ G ( s ) = s ( 0.01 s + 1 ) + K p s + K i K p s + K i = 0.01 s 2 + ( 1 + K p ) s + K i K p s + K i . 左图沿用这个闭环，观察给定电流从 0 跳到 1 A 1\,\mathrm A 1 A 环路增益（开环传递函数） ：
G o l ( s ) = C ( s ) ⋅ G ( s ) = K p s + K i s ( 0.01 s + 1 ) .
G_{\mathrm{ol}}(s)=C(s)\cdot G(s)
=\frac{K_p s+K_i}{s(0.01s+1)}.
G ol ( s ) = C ( s ) ⋅ G ( s ) = s ( 0.01 s + 1 ) K p s + K i . 左边是闭环控制的结果，右边是帮助理解这些结果的环路特征，不是要求电路实际断开反馈运行。 图中用绿色对应“上升时间与交越频率”，蓝色对应“稳态误差与低频增益”，红色对应“超调量与相位裕度”；参数改变时，两侧标注同时更新。
这里的上升时间取电流第一次从最终值的 10% 上升到 90% 所需的时间；超调量相对最终值计算。将 K i K_i K i 1 A 1\,\mathrm A 1 A R / ( R + K p ) A R/(R+K_p)\,\mathrm A R / ( R + K p ) A K i > 0 K_i>0 K i > 0
同色表示值得一起观察的指标，并非一一对应的换算公式。交越频率提高不保证调节时间一定缩短，相位裕度也不能直接换算为固定超调量。蓝色读数使用低频极限（ω → 0 \omega\to0 ω → 0 ω = 1 r a d / s \omega=1\,\mathrm{rad/s} ω = 1 rad/s
Kp
V/A
Ki
V/(A·s)
控制器：PI
给定 ±2% 调节时间：—
PI 整定联动绘图模块
const root = document.getElementById('pi-tuning'); return import(root.querySelector('.pi-tuning-module').href).then(module => module.mount(root, chart, fixit.isDark)); 此处的交互曲线需要 JavaScript；闭环传递函数见上文。
图 4：闭环阶跃响应与开环伯德图的同色对照。绿色为上升时间与交越频率，蓝色为稳态误差与低频增益，红色为超调与相位裕度。左图蓝色虚线表示最终值，浅色带为给定 1 A 的 ±2% 范围；图窗固定为 0–100 ms。各项数值按当前模型计算，不使用经验对应表。每次修改参数均从零初值重新计算；模型不含延迟、限幅等因素。 4.3 做三个小实验：从伯德图看懂闭环响应
随手调动图 4 的参数，会发现一些看起来矛盾的现象：有时电流上升很快，却始终达不到给定；有时交越频率几乎没变，调节时间却相差很大。下面不再自由拖动参数，而是用三组预设实验，把这些关系分开看清楚。
三个实验仍使用 R = 1 Ω R=1\,\Omega R = 1 Ω L = 10 m H L=10\,\mathrm{mH} L = 10 mH 1 A 1\,\mathrm A 1 A 达标 始终指电流进入并保持在 0.98 0.98 0.98 1.02 A 1.02\,\mathrm A 1.02 A 1 A 1\,\mathrm A 1 A
动图中每一组参数都是一次独立的零初值计算，并非在电路运行中突然切换 PI。彩色曲线为当前方案，灰色虚线保留上一组作对照；右侧伯德图在参数确定时即固定，左侧按时间展开响应。所有方案使用相同坐标范围，避免缩放造成“变快”的错觉。
实验一：交越频率提高，能更快达到控制目标吗？
先控制住其他变化，只比较速度。 选取下面三组 PI，使相位裕度都保持在 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘
方案 K p K_p K p K i K_i K i 交越频率 ω c \omega_c ω c 2% 调节时间 / ms 10 ms 内达标？ A 1 100 100 39.12 否 B 2 200 200 19.56 否 C 4 400 400 9.78 是
看右边，绿色交越点逐组向右移动；再看左边，电流更早接近 1 A 1\,\mathrm A 1 A 交越频率提高一倍，调节时间缩短一半 。方案 C 达到了前面提出的控制目标。
为了让比较足够清楚，本实验特意取 K i / K p = R / L = 100 s − 1 K_i/K_p=R/L=100\,\mathrm{s^{-1}} K i / K p = R / L = 100 s − 1 G o l ( s ) = ω c / s G_{\mathrm{ol}}(s)=\omega_c/s G ol ( s ) = ω c / s G c l ( s ) = ω c / ( s + ω c ) G_{\mathrm{cl}}(s)=\omega_c/(s+\omega_c) G cl ( s ) = ω c / ( s + ω c ) i ( t ) = ( 1 − e − ω c t ) A i(t)=(1-e^{-\omega_c t})\,\mathrm A i ( t ) = ( 1 − e − ω c t ) A t 2 % = ln ( 50 ) / ω c t_{2\%}=\ln(50)/\omega_c t 2% = ln ( 50 ) / ω c
先记住一个有限定的结论：当响应形状保持相近时，提高交越频率可以使闭环跟随更快。 但如果误差消不掉，或者振荡更明显，仅凭交越频率还不能判断是否达标。下面两组实验就看这两种情况。
实验二：上升很快，为什么还是达不到目标？
先把积分关掉，只保留比例控制。 令 K i = 0 K_i=0 K i = 0 K p K_p K p 1 A 1\,\mathrm A 1 A
由前面的闭环关系，在本例的单位反馈和 1 A 1\,\mathrm A 1 A
G o l ( 0 ) = K p R , e s s = 1 1 + G o l ( 0 ) A = R R + K p A .
G_{\mathrm{ol}}(0)=\frac{K_p}{R},\qquad
e_{\mathrm{ss}}=\frac{1}{1+G_{\mathrm{ol}}(0)}\,\mathrm A
=\frac{R}{R+K_p}\,\mathrm A.
G ol ( 0 ) = R K p , e ss = 1 + G ol ( 0 ) 1 A = R + K p R A . 这里可以直接看出：直流环路增益越大，稳态误差越小。 但比例增益有限，误差并不会自动变成零。例如 K p = 8 K_p=8 K p = 8 8 / 9 ≈ 0.889 A 8/9\approx0.889\,\mathrm A 8/9 ≈ 0.889 A 0.98 0.98 0.98 1.02 A 1.02\,\mathrm A 1.02 A
然后固定 K p = 8 K_p=8 K p = 8 K i = 190 K_i=190 K i = 190
控制器 K p K_p K p K i K_i K i 直流环路增益 G o l ( 0 ) G_{\mathrm{ol}}(0) G ol ( 0 ) 稳态误差 / A 交越频率 / (rad/s) 2% 调节时间 / ms P 1 0 1（0 dB） 0.500 无正频率交越点 无法达标 P 4 0 4（12.04 dB） 0.200 387.30 无法达标 P 8 0 8（18.06 dB） 0.111 793.73 无法达标 PI 8 190 ∞ \infty ∞ 0 794.09 70.28 PI 8 800 ∞ \infty ∞ 0 800.00 4.89
图 6：从纯比例到PI。前三组提高有限的低频平台，后两组加入积分，使低频增益在频率趋于零时持续增大。后两组最终误差都为零，但消除误差的速度不同。Kp、Ki的单位与图5相同。 图6动画帧
图6窄屏动画帧
图6窄屏封面
加入积分后，右图不再保持有限的低频平台，而是在频率继续降低时向上抬升。对本例稳定的理想 PI 闭环，只要 K i > 0 K_i>0 K i > 0
但要注意：最终没有误差，并不等于很快消除误差。 K i = 190 K_i=190 K i = 190 70.28 m s 70.28\,\mathrm{ms} 70.28 ms K i = 800 K_i=800 K i = 800 4.89 m s 4.89\,\mathrm{ms} 4.89 ms
尤其注意表中最后三行：交越频率都在约800 rad/s，结果却分别是无法达标、缓慢达标、快速达标。 所以要把交越附近与低频部分一起看，不能只盯住一个0 dB交点。
稳态误差指 t → ∞ t\to\infty t → ∞ ω = 1 r a d / s \omega=1\,\mathrm{rad/s} ω = 1 rad/s K p = 1 K_p=1 K p = 1
实验三：交越频率相同，为什么超调不同？
前面看过“快”和“准”，现在再看电流会不会冲过头。将交越频率都保持在200 rad/s，选择三组不同的 PI 参数 ，让相位裕度发生变化。
方案 K p K_p K p K i K_i K i 交越频率 / (rad/s) 相位裕度 超调量 2% 调节时间 / ms A 0.5 约435.89 200 39.49° 30.79% 51.12 B 1 400 200 53.13° 19.10% 38.42 C 2 200 200 90.00° 0% 19.56
图 7：相同交越频率下的相位裕度与超调。绿色交越线位置不变，红色相位裕度逐组增大；本组闭环响应的峰值和振荡随之减小。方案A计算使用未舍入的Ki值。 图7动画帧
图7窄屏动画帧
图7窄屏封面
右上图的交越点没有移动，但右下图在交越频率处与 − 180 ∘ -180^\circ − 18 0 ∘
冲得快，不一定稳得快。 方案 A 的首次上升时间约 6.42 m s 6.42\,\mathrm{ms} 6.42 ms 10.99 m s 10.99\,\mathrm{ms} 10.99 ms 51.12 m s 51.12\,\mathrm{ms} 51.12 ms
这三组结果来自完整闭环模型，保留了 PI 引入的零点，超调量直接由时域响应计算。不能据此写成“某个相位裕度必然对应某个超调百分比”；更换对象、零点或延迟后，这种对应会变化。这里是在同一个简单电路中，通过对照建立直觉。
三个实验放在一起看
想判断的问题 伯德图中重点看哪里？ 时域中最终检查什么？ 跟随能否更快？ 交越频率及其附近的曲线形状 上升时间，以及是否在10 ms内进入并保持在误差带 最终能否跟准？ 低频增益，尤其是趋于零频率时的行为 最终值与稳态误差；误差消除需要多长时间 会不会冲过头、来回振荡？ 交越频率处的相位裕度 峰值超调、振荡，以及最后一次进入误差带的时间
伯德图的用处就在这里：它给出哪些频段、哪些特征值得关注，帮助我们理解参数为什么产生这些效果；是否达到控制目标，仍要回到闭环响应确认。 本节只是理想 RL 模型的数值实验，未考虑电压限幅、采样与计算延迟，不能把增益无限提高当成实际系统的整定办法。
5. 为什么前面画开环伯德图？闭环伯德图又是什么样？
看到这里，读者可能会有一个疑问：左边明明是闭环的时域响应，为什么右边一直画开环伯德图？闭环难道不能画伯德图吗？
当然可以。前面选用开环伯德图，是为了观察环路增益的低频行为、交越频率和相位裕度，再与闭环的实际响应对照；并不是说闭环没有频率响应。
在本例的单位负反馈下，这两张伯德图对应的是两个不同的传递函数：
G o l ( s ) = C ( s ) ⋅ G ( s ) , G c l ( s ) = I m ( s ) I ∗ ( s ) = G o l ( s ) 1 + G o l ( s ) = K p s + K i 0.01 s 2 + ( 1 + K p ) s + K i .
G_{\mathrm{ol}}(s)=C(s)\cdot G(s),
\qquad
G_{\mathrm{cl}}(s)=\frac{I_m(s)}{I^*(s)}
=\frac{G_{\mathrm{ol}}(s)}{1+G_{\mathrm{ol}}(s)}
=\frac{K_p s+K_i}{0.01s^2+(1+K_p)s+K_i}.
G ol ( s ) = C ( s ) ⋅ G ( s ) , G cl ( s ) = I ∗ ( s ) I m ( s ) = 1 + G ol ( s ) G ol ( s ) = 0.01 s 2 + ( 1 + K p ) s + K i K p s + K i . 开环图观察环路本身，闭环图观察给定到输出的跟随特性。 左边的闭环阶跃响应与右边的闭环伯德图，使用的是同一个 G c l ( s ) G_{\mathrm{cl}}(s) G cl ( s )
下面沿用实验三的 A、B、C 三组参数，只多加一列闭环伯德图。三列始终使用同一组参数，并同步切换方案 ；每组时域曲线都从零初值重新计算。
图 8：实验三的另一种看法。左列是闭环阶跃响应，中列是开环环路增益，右列是闭环给定到输出的频率响应。两列伯德图的频率范围和纵轴刻度相同；灰虚线为上一组方案。相位裕度只标在中列，不标在闭环图上。窄屏按左、中、右顺序纵向排列。 图8动画帧
图8窄屏动画帧
图8窄屏封面
先看一个直观现象：从方案 A 到 C，中间的开环交越频率仍为200 rad/s，相位裕度增大；左边的超调减小，右边闭环幅频曲线隆起的峰值也逐渐降低，最后不再出现高于0 dB的隆起。这是这三组参数的对照结果，不是“某个闭环幅值峰值必然对应某个超调百分比”的通用公式。
还可以注意到，右边三组闭环幅值在低频都趋近0 dB。这里输入和输出都是电流，0 dB意味着幅值比趋近1；它不等于中间的开环低频增益也是0 dB。
这一章先把三种图放到一起，让读者知道：闭环伯德图不仅能画，而且它与闭环时域图是在从不同角度观察同一个系统。 至于闭环带宽怎样定义、幅值峰值与时域响应有什么联系，以及为什么整定时仍常看开环图，留到下一篇文章再细讲。
补充参考：MathWorks：闭环传递函数与环路增益的关系 。本图仍只包含前文的理想 RL 对象与 PI，不包含采样、延迟或限幅。
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